Exercice 15, § 5

Soit $K$ un corps de caractéristique 2. La représentation identique de l’algèbre de Lie nilpotente $\mathfrak{sl}(2, K)$ dans $K^2$ définit un produit semi-direct $\mathfrak{h}$ de $\mathfrak{sl}(2, K)$ par $K^2$. Montrer que $\mathfrak{h}$ est résoluble mais que $\mathscr{O}\mathfrak{h}$ n’est pas nilpotente. En déduire que $\mathfrak{h}$ n’admet aucune représentation linéaire fidèle par des matrices triangulaires. Montrer aussi que les conclusions de l’exerc. 5 sont en défaut.