Exercice 6, § 5

Groupes et algèbres de Lie, I

a) Vérifier que la table de multiplication suivante définit une algèbre de Lie résoluble $g$ de dimension 5 :

[x_1, x_2] = x_5 \quad [x_1, x_3] = x_3 \quad [x_2, x_4] = x_4 \\ [x_1, x_4] = [x_2, x_3] = [x_3, x_4] = [x_5, g] = 0.

b) Montrer que l’orthogonal de $g$ pour la forme de Killing est $\mathscr{O}g = Kx_3 + Kx_4 + Kx_5$ . En déduire que $\mathscr{O}g$ est le plus grand idéal nilpotent de $g$ .

c) Montrer qu’il n’existe aucune sous-algèbre supplémentaire de $\mathscr{O}g$ dans $g$ . En déduire que $g$ n’est pas le produit semi-direct d’une algèbre commutative et d’un idéal nilpotent. (Montrer que cet idéal nilpotent serait nécessairement $\mathscr{O}g$ .)

Solution

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