Exercice 8, § 5

a) Soit $g_0$ une algèbre de Lie résoluble réelle de dimension 3 telle que $\mathscr{O}g_0$ soit commutative de dimension 2. Soit $g$ l’algèbre déduite de $g_0$ par extension du corps de base de $\mathbf{R}$ à $\mathbf{C}$. Pour $x \in g$, soit $u_x$ la restriction de $\operatorname{ad}_g x$ à $\mathscr{O}g$. Montrer que les valeurs propres de $u_x$ sont, ou bien de même valeur absolue, ou bien linéairement dépendantes sur $\mathbf{R}$. (On a $x = \lambda y + z$ avec $z \in \mathscr{O}g,\ y \in g_0,\ \lambda \in \mathbf{C}$, donc $u_x = \lambda u_y$. Or, $u_y$ est l’extension $\mathbf{C}$-linéaire à $\mathscr{O}g$ d’un endomorphisme $\mathbf{R}$-linéaire de $\mathscr{O}g_0$.)

b) Montrer qu’il existe une algèbre de Lie complexe résoluble $g$ de dimension 3, avec $\mathscr{O}g$ commutative de dimension 2, et un élément $x$ de $g$, tels que la restriction de $\operatorname{ad}_g x$ à $\mathscr{O}g$ aient des valeurs propres qui ne soient, ni de même valeur absolue, ni linéairement dépendantes sur $\mathbf{R}$. (Construire $g$ comme produit semi-direct d’une algèbre de dimension 1 et d’une algèbre commutative de dimension 2.)

c) Montrer que l’algèbre construite en b) ne peut pas se déduire d’une algèbre de Lie réelle par extension du corps de base de $\mathbf{R}$ à $\mathbf{C}$.