Exercice 4, § 8

Soient $G$ un groupe de Lie réel de dimension finie, $A$ un sous-groupe de $G$. Disons qu’un élément $x$ de $L(G)$ est $A$-accessible, si, pour tout voisinage $U$ de $e$, il existe une application continue $\alpha$ de $[0, 1]$ dans $A$ telle que $\alpha(0) = e$ et $\alpha(t) \in \exp(tx) \cdot U$ pour $0 \leq t \leq 1$. Soit $h$ l’ensemble des éléments $A$-accessibles de $L(G)$. a) Montrer que $h$ est une sous-algèbre de Lie de $L(G)$. (Utiliser l’exerc. 19 du § 6.) b) Soit $H$ le sous-groupe intégral de $G$ tel que $L(H) = h$. Montrer que $H \subset A$. (Soit $I = (-1, 1)$, et munissons $\mathbf{R}^r$ de la norme euclidienne. Soit $(x_1, \ldots, x_r)$ une base de $h$. Construire des applications continues $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ de $I$ dans $A$, et des applications continues $f_1, \ldots, f_r$ de $I^r$ dans $\mathbf{R}$ telles que, pour tout $t = (t_1, \ldots, t_r) \in I^r$, on ait

On appliquera alors le théorème suivant : soit $f$ une application continue de $I^r$ dans $\mathbf{R}^r$ telle que $\| f(x) - x \| \leq \frac{1}{2}$ pour tout $x \in I^r$; alors $f(I^r)$ contient un voisinage de $0$ dans $\mathbf{R}^r$.¹) c) En déduire que $h$ est la sous-algèbre tangente en $e$ à $A$. d) Montrer que si $A$ est connexe par arcs, on a $A = H$.²