Bài tập 4, § 8

Cho $G$ là một nhóm Lie thực hữu hạn chiều và $A$ là một nhóm con của $G$. Ta nói rằng một phần tử $x$ của $L(G)$ là $A$-tiếp cận được nếu, với mọi lân cận $U$ của $e$, tồn tại một ánh xạ liên tục $\alpha$ từ $(0, 1)$ vào $A$ sao cho $\alpha(0) = e$ và $\alpha(t) \in \exp(tx) \cdot U$ với $0 \leq t \leq 1$. Gọi $\mathfrak{h}$ là tập hợp các phần tử $A$-tiếp cận được của $L(G)$.

(a) Chứng minh rằng $\mathfrak{h}$ là một đại số con Lie của $L(G)$. (Dùng Bài tập 19 của § 6.)

(b) Cho $H$ là một nhóm con nguyên của $G$ sao cho $L(H) = \mathfrak{h}$. Chứng minh rằng $H \subset A$. (Đặt $I = [-1, 1]$ và trang bị cho $\mathbf{R}^r$ chuẩn Euclid. Gọi $(x_1, \ldots, x_r)$ là một cơ sở của $\mathfrak{h}$. Hãy xây dựng các ánh xạ liên tục $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ từ $I$ vào $A$ và các ánh xạ liên tục $f_1, \ldots, f_r$ từ $I^r$ vào $\mathbf{R}$, sao cho, với $t = (t_1, \ldots, t_r) \in I^r$,

Sau đó áp dụng định lý sau: cho $f$ là một ánh xạ liên tục từ $I^r$ vào $\mathbf{R}^r$ sao cho $\| f(x) - x \| \leq \frac{1}{2}$ với mọi $x \in I^r$; khi đó $f(I^r)$ chứa một lân cận của 0 trong $\mathbf{R}^r$.†)

† Điều này suy ra từ định lý điểm bất động Brouwer; có thể tham khảo, chẳng hạn, trong N. Dunford và J. T. Schwartz, Linear operators, phần I (Interscience publishers, 1958), tr. 467–470.

(c) Suy ra rằng $\mathfrak{h}$ là đại số con tiếp tuyến với $A$ tại $e$. (d) Chứng minh rằng nếu $A$ liên thông bằng cung, thì $A = H$.†