Exercice 7, § 8

Soient $G$ un groupe de Lie réel, $H$ un sous-groupe fermé de $G$. a) Soit $\mathfrak{h}$ l’ensemble des $x \in L(G)$ tels que $\exp(tx) \in H$ pour tout $t \in \mathbf{R}$. Alors $\mathfrak{h}$ est une sous-algèbre de Lie de $L(G)$. (Utiliser la prop. 8 du § 6.) b) On suppose $H$ localement compact. Montrer que $H$ est un sous-groupe de Lie de $G$. (Montrer d’abord que $\mathfrak{h}$ est de dimension finie en prouvant l’existence dans $\mathfrak{h}$ d’un voisinage de $0$ précompact. Imiter ensuite la démonstration du th. 2, en choisissant $V_2$ de telle sorte que $(\exp V_2) \cap H$ soit relativement compact.)