Bài tập 7, § 8

Cho $G$ là một nhóm Lie thực và $H$ là một nhóm con đóng của $G$. (a) Cho $\mathfrak{h}$ là tập hợp các $x \in L(G)$ sao cho $\exp(tx) \in H$ với mọi $t \in \mathbf{R}$. Khi đó $\mathfrak{h}$ là một đại số con Lie của $L(G)$. (Sử dụng Mệnh đề 8 của § 6.)

† Để biết thêm chi tiết, xem M. Goto, Về một nhóm con liên thông theo cung của một nhóm Lie, Proc. Amer. Math. Soc., 20 (1969), tr. 157–162.

(b) Giả sử rằng H là địa phương compact. Hãy chứng minh rằng H là một nhóm con Lie của G. (Trước hết hãy chứng minh rằng $\mathfrak{h}$ là hữu hạn chiều bằng cách chứng minh sự tồn tại trong $\mathfrak{h}$ của một lân cận tiền compact của 0. Sau đó bắt chước chứng minh của Định lý 2, chọn $V_2$ sao cho $(\exp V_2) \cap H$ là tương đối compact.)