L’ensemble $\mathfrak{N}$ des hyperplans H tels que $H \in \mathfrak{S}$ et $a \notin H$ est localement fini puisqu’il est contenu dans $\mathfrak{S}$; par suite, l’ensemble U des points de E n’appartenant à aucun des hyperplans de l’ensemble $\mathfrak{N}$ est ouvert; comme on a $a \in U$, il existe un voisinage ouvert convexe de a contenu dans U. Le reste de la proposition est évident.

Étant donnés deux points x et y de E, on notera R $\{x, y\}$ la relation « Pour tout hyperplan H $\in \mathfrak{S}$, ou bien $x \in H$ et $y \in H$, ou bien x et y sont strictement du même côté de H. »

Il est clair que R est une relation d’équivalence dans E.

C’est évident, puisque $\mathfrak{S}$ est localement fini.

Soient F une facette et a un point de F. Pour qu’un hyperplan H $\in \mathfrak{S}$ contienne F, il faut et il suffit que l’on ait $a \in H$; l’ensemble $\mathfrak{S}$ de ces hyperplans est donc fini; il a pour intersection un sous-espace affine L de E, que l’on appellera le support affine de F; la dimension de L s’appellera la dimension de F.

Si $\mathfrak{N}$ est l’ensemble des hyperplans $H \in \mathfrak{S}$ ne contenant pas F, on a

(2)

Nous allons montrer que l’adhérence de F est donnée par la formule

(3)

Il est clair que le membre de droite contient le membre de gauche. Inversement, soit $x \in L \cap \bigcap_{H \in \mathfrak{N}} \overline{D_H(a)}$. Le segment ouvert d’extrémités a et x est contenu dans L et dans chacun des $D_H(a)$ pour $H \in \mathfrak{N}$, donc dans F. Il en résulte que x est adhérent à F, d’où la formule.

(ii) L’adhérence de F est réunion de F et de facettes de dimension strictement inférieure à celle de F.

(iii) Dans l’espace topologique L, l’ensemble F est l’intérieur de son adhérence.

Comme tout demi-espace ouvert et tout hyperplan sont des parties convexes de E, la formule (2) montre que F est intersection d’une famille de parties convexes, donc est convexe. Par ailleurs, soit a dans F, et soit U un voisinage ouvert convexe de a dans E ne rencontrant aucun des hyperplans appartenant à l’ensemble $\mathfrak{N}$ des $H \in \mathfrak{S}$ tels que $a \in H$. Pour tout $H \in \mathfrak{N}$, on a alors $U \subset D_H(a)$, d’où $L \cap U \subset F$, donc F est ouvert dans l’espace topologique L.

Soient b un point de $\overline{F} - F$, appartenant à la facette F’, et $\mathfrak{N}'$ l’ensemble des hyperplans $H \in \mathfrak{N}$ passant par b ; on pose $\mathfrak{N}'' = \mathfrak{N} - \mathfrak{N}'$. Pour tout H dans $\mathfrak{N}''$, on a $b \notin H$ et $b \in \overline{D_H(a)}$, d’où $b \in D_H(a)$ et donc $D_H(b) = D_H(a)$; par définition d’une facette, on a donc :

alors que (3) entraîne :

d’où $F' \subset \overline{F}$. On ne peut avoir $\mathfrak{N}' = \varnothing$, car cela entraînerait $F = F'$ d’après (2) et (4), contrairement à l’hypothèse $b \notin F$ et $b \in F'$. Le support de F’ est l’ensemble $L' = L \cap \bigcap_{H \in \mathfrak{N}'} H$; on a $a \in L$, mais $a \notin H$ pour H dans $\mathfrak{N}'$, d’où $L' \neq L$ et finalement $\dim L' < \dim L$, c’est-à-dire $\dim F' < \dim F$. Ceci prouve (ii).

Soient H dans $\mathfrak{N}'$ et D le demi-espace ouvert limité par H et distinct de $D_H(a)$; on a $b \in H \cap L$, et il est immédiat que $D \cap L$ est un demi-espace de L limité par l’hyperplan $H \cap L$ de L ; par suite, tout voisinage de b dans L rencontre $D \cap L$, et comme $D \cap L$ est disjoint de $\overline{F}$ d’après (3), on voit que le point b de $\overline{F} - F$ ne peut être intérieur à $\overline{F}$ dans l’espace topologique L. Comme F est ouvert dans L, on a (iii).

C.Q.F.D.

Cela résulte de (iii).

(i) Il existe une facette F’ de support L rencontrant $\overline{F}$. (ii) Il existe une facette F’ de support L contenue dans $\overline{F}$. (iii) Il existe un point x dans $L \cap \overline{F}$ qui n’appartient à aucun des hyperplans de $\mathfrak{N}$. Si ces conditions sont remplies, $L \cap D_{\mathfrak{N}}(F)$ est l’unique facette de support L contenue dans $\overline{F}$.

(i) $\Longrightarrow$ (ii) : Comme $\overline{F}$ est réunion de facettes (prop. 3, (ii)), toute facette qui rencontre $\overline{F}$ rencontre une facette contenue dans $\overline{F}$, et lui est donc égale.

(ii) $\Longrightarrow$ (iii) : Tout point $x$ de $F'$ vérifie (iii) car tout hyperplan de $\mathfrak{S}$ contenant $x$ contient $F'$, donc $L$.

(iii) $\Longrightarrow$ (i) : Soit $x$ un point vérifiant (iii) et soit $F'$ la facette contenant $x$; il est clair que $F'$ rencontre $\overline{F}$. Soit $H \in \mathfrak{S}$; on a $x \notin H$ si $H \in \mathfrak{N}$ et évidemment $x \in H$ si $H \notin \mathfrak{N}$; par suite, le support de $F'$ est l’intersection des hyperplans de $\mathfrak{S} - \mathfrak{N}$, et il est égal à $L$.

Enfin, soit $F'$ une facette de support $L$, contenue dans $\overline{F}$, et soit $x$ un point de $F'$; comme aucun hyperplan de $\mathfrak{N} \subset \mathfrak{S}$ ne passe par $x$, la prop. 1 montre qu’il existe un voisinage ouvert convexe $U$ de $x$ ne rencontrant aucun hyperplan de $\mathfrak{N}$. Comme $x$ est adhérent à $F$, on a $U \cap F \neq \emptyset$; or $\mathfrak{N}$ est l’ensemble des hyperplans $H \in \mathfrak{S}$ qui ne contiennent pas $F'$, et pour tout $H$ dans $\mathfrak{N}$, on a $D_H(x) = D_H(U) = D_H(U \cap F) = D_H(F)$ et la formule (2) entraîne

C.Q.F.D.

Dans ces conditions, C est une chambre définie par $\mathfrak{H}$ dans E, et l’on a $D_H = D_H(C)$ pour tout $H \in \mathfrak{H}$.

Les propriétés a) et b) montrent que C est une partie convexe de U; il existe donc une chambre $C'$ avec $C \subset C'$. Comme on a $C \subset D_H$, on a $D_H = D_H(C)$ pour tout H dans $\mathfrak{H}'$, d’où $C = D_{\mathfrak{H}'}(C) \supset D_{\mathfrak{H}}(C)$ puisque $\mathfrak{H}' \subset \mathfrak{H}$; on a $D_{\mathfrak{H}}(C) = C'$ d’après (6), d’où $C \supset C'$. Finalement, on a $C = C'$.

Si E est réduit à un point, c’est évident. Sinon, soit $a \in E$, et soient $H_1, \ldots, H_m$ les hyperplans de $\mathfrak{H}$ contenant a. Puisque $\mathfrak{H}$ est localement fini, il existe un voisinage V de a ne rencontrant aucun hyperplan de $\mathfrak{H}$ distinct de $H_1, \ldots, H_m$. Soit D une droite passant par a et qui n’est contenue dans aucun des $H_i$; si $x \in D, x \neq a$, et x est assez voisin de a, le segment ouvert $]ax[$ est contenu dans V et ne rencontre aucun des $H_i$. On a alors $]ax[ \subset U$; comme $]ax[$ est connexe, il est contenu dans une chambre C, d’où $a \in \overline{C}$.

(i) Il existe un point a de $\Omega$ n’appartenant à aucun des hyperplans de $\mathfrak{H}$ qui ne contiennent pas L.

(ii) Si L est un hyperplan et si $L \notin \mathfrak{H}$, il existe une chambre rencontrant $\Omega$.

(iii) Si L est un hyperplan et si $L \in \mathfrak{H}$, il existe un point a de $\Omega$ n’appartenant à aucun hyperplan $H \neq L$ de $\mathfrak{H}$.

On notera $\mathfrak{N}$ l’ensemble des hyperplans H avec $H \in \mathfrak{H}$ et $L \not\subset H$, et $\mathfrak{L}$ l’ensemble des hyperplans de l’espace affine L de la forme $L \cap H$ avec $H \in \mathfrak{N}$. Il est clair que $\mathfrak{L}$ est un ensemble localement fini d’hyperplans dans L, et la prop. 6 montre que $\Omega$ rencontre une chambre $\Gamma$ définie par $\mathfrak{L}$ dans L. Si a est un point de $\Gamma \cap \Omega$, on aura $a \notin H$ pour tout $H \in \mathfrak{N}$, d’où (i).

Supposons que L soit un hyperplan; tout hyperplan contenant L lui est égal, et par suite, on peut distinguer deux cas:

a) $L \notin \mathfrak{H}$: alors $\mathfrak{N} = \mathfrak{H}$, et l’on a $a \notin H$ pour tout $H \in \mathfrak{H}$; donc a appartient à une chambre définie par $\mathfrak{H}$ dans E, d’où (ii).

b) $L \in \mathfrak{H}$: on a alors $\mathfrak{N} = \mathfrak{H} - \{L\}$, d’où (iii).

D’après la prop. 7, (iii), il existe un point $a$ de $H$ n’appartenant à aucun hyperplan $H' \neq H$ de $\mathfrak{S}$; d’après la prop. 6, il existe une chambre $C$ telle que $a \in \overline{C}$; la prop. 4 montre alors que $H$ est un mur de $C$.

a) Soit $\mathfrak{L}$ une partie de $\mathfrak{S}$ telle que $C = D_{\mathfrak{L}}(C)$. Considérons un hyperplan $L$ appartenant à $\mathfrak{S}$ mais non à $\mathfrak{L}$; soit $\mathfrak{N}$ l’ensemble des hyperplans $H \neq L$ appartenant à $\mathfrak{S}$. On a $\mathfrak{L} \subset \mathfrak{N}$, d’où $C = D_{\mathfrak{N}}(C)$, et $L$ ne rencontre pas $D_{\mathfrak{N}}(C)$. D’après la prop. 4 (implication (i) $\Longrightarrow$ (iii)), l’hyperplan $L$ n’est pas un mur de $C$. Par conséquent, tout mur de $C$ appartient à $\mathfrak{L}$.

b) On suppose toujours $C = D_{\mathfrak{L}}(C)$. Soit $H$ un hyperplan appartenant à $\mathfrak{L}$, qui ne soit pas un mur de $C$, et posons $\mathfrak{L}' = \mathfrak{L} - \{H\}$. D’après la prop. 4 (implication (iii) $\Longrightarrow$ (i)), l’ensemble convexe $D_{\mathfrak{L}'}(C)$ ne rencontre pas $H$, d’où $D_{\mathfrak{L}'}(C) \subset D_H(C)$ et $C = D_{\mathfrak{L}'}(C)$. Par récurrence sur le cardinal de $\mathfrak{S}$, on en conclut que, si $\mathfrak{F}$ est une partie finie de $\mathfrak{L}$ ne contenant aucun mur de $C$, on a $C = D_{\mathfrak{L}-\mathfrak{F}}(C)$.

c) Soit $a$ un point de $C$; on a évidemment $C \subset D_{\mathfrak{M}}(a)$. Soit $a'$ un point de $D_{\mathfrak{M}}(a)$; comme le segment fermé $[aa']$ est compact, l’ensemble $\mathfrak{S}$ des hyperplans $H \in \mathfrak{S}$ qui rencontrent $[aa']$ est fini. Comme $a$ et $a'$ sont strictement du même côté de tout mur de $C$, aucun mur de $C$ n’appartient à $\mathfrak{S}$; d’après b), on a donc $C = D_{\mathfrak{S}-\mathfrak{S}}(C)$. Comme $a' \in D_{\mathfrak{S}-\mathfrak{S}}(a)$, on a $a' \in C$. On a donc prouvé que $D_{\mathfrak{M}}(a) \subset C$, ce qui démontre la première partie de la proposition.

d) Pour prouver la dernière assertion de la proposition, il suffit évidemment de montrer qu’une partie $F$ de $\overline{C}$ qui est une facette de $E$ relativement à $\mathfrak{M}$, est une facette de $E$ relativement à $\mathfrak{S}$, ou encore que tout hyperplan $H \in \mathfrak{S}$ qui rencontre $F$ contient $F$. Soit donc $H$ un hyperplan rencontrant $F$ et ne le contenant pas. Comme $F$ est ouvert dans son support affine, il n’est pas tout entier d’un même côté de $H$. Il en résulte que $\overline{C}$ n’est pas tout entier d’un même côté de $H$ et par suite l’hyperplan $H$ ne peut pas appartenir à $\mathfrak{S}$, ce qui achève la démonstration.

Soient H et H' deux hyperplans non parallèles, $a \in H$ et $a' \in H'$; il existe deux hyperplans M et M' dans l’espace vectoriel T tels que $H = M + a$ et $H' = M' + a'$; comme H et H' ne sont pas parallèles, on a $M \neq M'$, d’où $T = M + M'$; il existe alors $u \in M$ et $u' \in M'$ tels que $a' - a = u - u'$, et le point $u + a = u' + a'$ appartient à $H \cap H'$.

a) Les hyperplans H, H' et L sont parallèles.

b) Les hyperplans H et H' ne sont pas parallèles, et $H \cap H' \subset L$.

Il existe alors des nombres réels $\lambda, \lambda'$ non tous deux nuls tels que L se compose des $a \in E$ qui annulent la fonction affine $g = \lambda . f + \lambda' . f'$.

Le lemme étant trivial lorsque $L = H$, nous pouvons supposer qu’il existe un point a de L avec $a \notin H$. Posons $\lambda = f'(a), \lambda' = -f(a)$ et

on a $\lambda' \neq 0$ puisque $a \notin H$; de plus, comme $H \neq H'$, il existe $b \in H$ tel que $b \notin H'$, d’où $f(b) = 0, f'(b) \neq 0$, et donc $g(b) = -f(a) . f'(b)$ est non nul. L’ensemble $L_1$ des points où s’annule la fonction affine $g \neq 0$ est alors un hyperplan dans E; on a $g(a) = 0$, d’où $a \in L_1$.

a) Supposons H et H' parallèles : tout point de $L_1 \cap H$ annule g et f, donc aussi $f'$ puisque $\lambda' \neq 0$, et appartient donc à H'; mais comme H et H' sont parallèles et distincts, ils sont disjoints, d’où $L_1 \cap H = \varnothing$, et le lemme 1 montre que $L_1$ est parallèle à H. Comme on a $a \in L$ et $a \in L_1$, on a donc $L = L_1$.

b) Supposons H et H' non parallèles : d’après le lemme 1, il existe un point c dans $H \cap H'$; nous munirons E de la structure d’espace vectoriel obtenue en prenant c comme origine. Alors $H \cap H'$ est un sous-espace vectoriel de codimension 2 dans E, et comme on a $a \notin H$, le sous-espace vectoriel M de E engendré par $H \cap H'$ et a est un hyperplan; comme on a $H \cap H' \subset L \cap L_1$ et $a \in L \cap L_1$, on a $M \subset L \cap L_1$, d’où $M = L = L_1$.

C.Q.F.D.

a) Les hyperplans H, H' et L sont parallèles.

b) Les hyperplans H et H' ne sont pas parallèles, et $H \cap H' \subset L$. Alors L rencontre C.

Soit b (resp. $b'$) un point de la face de C de support H (resp. H'); il est immédiat que tout point du segment $[bb']$ distinct de b et $b'$ appartient à C.

Introduisons une fonction affine $f$ nulle en tout point de H et telle que $f(x) > 0$ pour x dans $D_H(C)$; introduisons de même une fonction affine $f'$ ayant la propriété analogue par rapport à H'. Appliquant le lemme 2, on peut trouver des nombres $\lambda$ et $\lambda'$ et une fonction affine g ayant les propriétés indiquées. On a $(\lambda, \lambda') \neq (0, 0)$ et pour tout point x de $L \cap D_H(C) \cap D_{H'}(C)$, on a $f(x) > 0, f'(x) > 0$ et $\lambda \cdot f(x) + \lambda' \cdot f'(x) = 0$, d’où $\lambda \lambda' < 0$. Par ailleurs, on a $g(b) = \lambda' \cdot f'(b)$ et $g(b') = \lambda \cdot f(b')$, et comme $f(b') > 0, f'(b) > 0$, on a $g(b) \cdot g(b') < 0$. Les points b et $b'$ sont strictement de part et d’autre de l’hyperplan L, et il existe un point c de L appartenant à $[bb']$ et distinct de b et $b'$, donc appartenant à C.