Exercice 5, § 3

Groupes et algèbres de Lie, V

Soient V un espace vectoriel réel de dimension finie, W un sous-groupe fini de GL(V) engendré par des réflexions, C une chambre de W et S l’ensemble des murs de C. Si J ⊂ S, soit W_J le sous-groupe de W engendré par les s_H pour H ∈ S, et soit ε(J) = (−1)^{Card(J)}. Montrer que l’on a :

(*)

\frac{1}{\mathrm{Card}(W)} = \sum_{J \subset S} \frac{\varepsilon(J)}{\mathrm{Card}(W_J)}.

(Soient (x|y) un produit scalaire sur V invariant par W, Σ la sphère unité de V, μ une mesure positive sur Σ invariante par W et de masse totale 1. Si H ∈ S, soit D_H le demi-espace ouvert déterminé par H et contenant C. Soit E_H = D_H ∩ Σ. On a

(-\overline{C}) \cap \Sigma = \bigcap_{H \in S} (\Sigma - E_H),

d’où

\frac{1}{\mathrm{Card}(W)} = \mu(\overline{C} \cap \Sigma) = \int_{\Sigma} \prod_{H \in S} (1 - \varphi_{E_H})\, d\mu

= \sum_{J \subset S} \varepsilon(J) \mu(\bigcap_{H \in J} E_H).

Conclure en remarquant que $\bigcap_{H \in J} E_H$ est l’intersection avec Σ d’une chambre de W_J, donc a une mesure égale à 1/Card(W_J).

Retrouver la formule (*) au moyen de l’exercice 26 e) du chap. IV, § 1 (faire t = 1 dans l’identité démontrée dans l’exercice en question).

Solution

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