Soit en effet $K$ une partie compacte de $E$. Si un hyperplan $H \in \mathfrak{S}$ rencontre $K$, l’ensemble $s_H(K)$ rencontre aussi $K$, puisque tout point de $K \cap H$ est fixe par $s_H$. L’ensemble des $H \in \mathfrak{S}$ rencontrant $K$ est donc fini d’après (D' 2).

On peut donc appliquer à E et $\mathfrak{S}$ les définitions et résultats du . Nous appellerons simplement chambres, facettes, murs, etc. relatifs à W les chambres, facettes, murs, etc. définis dans E par $\mathfrak{S}$. Un déplacement $w \in W$ permutent entre elles les chambres, les facettes, les murs, etc

(i) Pour tout $x \in E$, il existe un élément $w \in W$ tel que $w(x) \in \overline{C}$. (ii) Pour toute chambre $C'$, il existe un élément $w \in W$ tel que $w(C') = C$. (iii) Le groupe W est engendré par l’ensemble des réflexions orthogonales par rapport aux murs de C.

Soit $\mathfrak{M}$ l’ensemble des murs de C et soit $W_{\mathfrak{M}}$ le sous-groupe de W engendré par les réflexions par rapport aux murs de C. Démontrons (i) : soit $x \in E$ et soit J l’orbite de $x$ par rapport au groupe $W_{\mathfrak{M}}$. Il suffit de prouver que J rencontre $\overline{C}$.

Soit $a$ un point de C ; il existe une boule fermée B de centre $a$ rencontrant J ; comme B est compacte, la propriété (D’ 2) du n° 1 montre que $B \cap J$ est fini. Il existe donc un point $y$ de J tel que

(1)

On va prouver que l’on a $y \in \overline{C}$. Pour cela, il suffit de montrer que si H est un mur de C, on a $y \in \overline{D_H(C)}$ (cf. § 1, n° 4, prop. 9). Comme on a $s_H \in W_{\mathfrak{M}}$, on a $s_H(y) \in J$ d’où (fig. 1)

(2)

d’après (1). Il existe $b \in H$ et deux vecteurs $t$ et $u$ tels que $a = b + t$ et $y = b + u$, le vecteur $u$ étant orthogonal à H ; on a alors $s_H(y) = b - u$, et (2) équivaut à $(t - u|t - u) \leq (t + u|t + u)$, c’est-à-dire à $(t|u) \geq 0$. Cette inégalité entraîne $y \in \overline{D_H(C)}$.

!Figure 1

Figure 1

(ii) Soient $C'$ une chambre et $a' \in C'$. D’après ce qu’on vient de démontrer, il existe $w \in W_{\mathfrak{M}}$ tel que $w^{-1}(a') \in \overline{C}$; par suite, la chambre $C'$ rencontre $w(C)$; comme $w(C)$ est réunion de $w(C)$ et de facettes d’intérieur vide (§ 1, n° 2, prop. 3), on a $C' = w(C)$.

(iii) On a à prouver $W = W_{\mathfrak{M}}$ et il suffit de prouver que l’on a $s_{H'} \in W_{\mathfrak{M}}$ pour tout $H' \in \mathfrak{S}$. Or $H'$ est le mur d’au moins une chambre $C'$ (§ 1, n° 4, prop. 8); on a vu qu’il existe $w \in W_{\mathfrak{M}}$ tel que $C' = w(C)$; par suite, il existe un mur H de C tel que $H' = w(H)$, d’où $s_{H'} = w.s_H.w^{-1} \in W_{\mathfrak{M}}$.

(i) Le couple (W, S) est un système de Coxeter. (ii) Soient w ∈ W et H un mur de C. La relation l(s_H w) > l(w) signifie que les chambres C et w(C) sont du même côté de H. (iii) Pour toute chambre C', il existe un unique élément w ∈ W tel que w(C) = C'. (iv) L’ensemble des hyperplans H tels que s_H ∈ W est égal à $\mathfrak{h}$.

Tout élément de S est d’ordre 2 et le lemme 2 montre que S engendre W. Pour tout mur H de C, notons P_H l’ensemble des w ∈ W tels que les chambres C et w(C) (qui ne rencontrent pas H) soient du même côté de H. Nous allons vérifier les conditions (A'), (B') et (C) du chap. IV, § 1, no 7.

(A') 1 ∈ P_H : Trivial. (B') P_H est disjoint de s_H . P_H : En effet, w(C) et s_H w(C) sont de part et d’autre de H, donc si w(C) est du même côté de H que C, il n’en est pas de même de s_H w(C). (C) Soient w ∈ P_H et H' un mur de C tel que ws_{H'} ∉ P_H ; on a ws_{H'} = s_H w : Par hypothèse w(C) est du même côté de H que C, et ws_{H'}(C) est de l’autre côté de H. Donc ws_{H'}(C) et w(C) sont de part et d’autre de H ; les chambres s_{H'}(C) et C sont de part et d’autre de l’hyperplan w^{-1}(H). Soit a un point de la face de C de support H'. Le point a = s_{H'}(a) est adhérent aux deux chambres C et s_{H'}(C) qui sont respectivement contenues dans les deux demi-espaces ouverts limités par w^{-1}(H) ; on a donc a ∈ w^{-1}(H), d’où H' = w^{-1}(H). De là, on tire s_{H'} = w^{-1} s_H w, d’où ws_{H'} = s_H w.

Ceci étant, les assertions (i) et (ii) résultent de la prop. 6 du chap. IV, § 1, no 7. On a de plus (loc. cit., condition (A))

Le lemme 2 montre que W est transitif sur l’ensemble des chambres. De plus, si w ∈ W est tel que w(C) = C, on a w ∈ P_H pour tout mur H de C, d’où w = 1 par (3). Ceci établit (iii).

Soit enfin H un hyperplan tel que s_H ∈ W. Si l’on avait H ∉ $\mathfrak{h}$, il existerait au moins une chambre C' rencontrant H (§ 1, no 3, prop. 7). Tout point de H ∩ C' est invariant par s_H, donc appartient aux chambres C' et s_H(C') ; on a donc C' = s_H(C') ce qui contredit (iii) puisque s_H ≠ 1.

Soit $\mathfrak{h}$' l’ensemble des hyperplans de la forme w(H) avec w ∈ W et H ∈ $\mathfrak{h}$ tel que s_H ∈ Σ. Comme W est engendré par la famille (s_H)_{H \in $\mathfrak{h}$'} et que $\mathfrak{h}$' est stable par W, on peut appliquer à $\mathfrak{h}$' au lieu de $\mathfrak{h}$ tous les résultats de ce no ; mais le th. 1, (iv) montre que toute réflexion de W est de la forme s_H avec H ∈ $\mathfrak{h}$', d’où le corollaire.

(i) $w(F)$ rencontre F; (ii) $w(F) = F$; (iii) $w(\overline{F}) = \overline{F}$; (iv) $w$ laisse fixe au moins un point de F; (v) $w$ laisse fixe tout point de F; (vi) $w$ laisse fixe tout point de $\overline{F}$; (vii) $w$ appartient au sous-groupe de W engendré par les réflexions par rapport aux murs de C contenant F.

Pour toute partie A de E, notons W(A) le sous-groupe de W formé des éléments laissant fixes tous les points de A.

Démontrons tout d’abord l’assertion suivante :

(I) Soient C une chambre, x et y deux points de $\overline{C}$ et $w \in W$ tel que $w(x) = y$. On a alors $x = y$ et $w$ appartient au sous-groupe $W_{\mathfrak{N}}$, où $\mathfrak{N}$ est l’ensemble des murs de C contenant x.

Nous raisonnons par récurrence sur la longueur q de w (relativement à l’ensemble S des réflexions par rapport aux murs de C), le cas $q = 0$ étant évident. Si $q \geqslant 1$, il existe un mur H de C et un élément $w' \in W$ tel que $w = s_H w'$ et $l(w') = q - 1$. Puisque $l(s_H w) < l(w)$, les chambres C et $w(C)$ sont de part et d’autre de H d’après le th. 1 du n° 2. On a donc $\overline{C} \cap w(\overline{C}) \subset H$, d’où $y \in H$. On a alors $y = w'(x)$ et l’hypothèse de récurrence entraîne $x = y$ et $w' \in W_{\mathfrak{N}}$. De $y \in H$ on déduit $H \in \mathfrak{N}$, d’où $w = s_H w' \in W_{\mathfrak{N}}$, ce qui termine la démonstration de (I).

Démonstration du théorème 2 : il résulte de (I) et du lemme 2.

Démonstration de la proposition 1 : on sait que deux facettes distinctes sont disjointes et ont des adhérences distinctes (§ 1, n° 2, cor. de la prop. 3). L’équivalence de (i), (ii) et (iii) en résulte. D’autre part, il est clair que

(vii) $\Longrightarrow$ (vi) $\Longrightarrow$ (v) $\Longrightarrow$ (iv) $\Longrightarrow$ (i)

et l’assertion (I) montre que (i) $\Longrightarrow$ (vii).

Démonstration de la proposition 2 : soit $A''$ le sous-espace affine de E engendré par A. On a évidemment $W(A) = W(A'')$. D’après la prop. 7 du § 1, n° 3, il existe un point $x \in A''$ n’appartenant à aucun hyperplan $H \in \mathfrak{H} - \mathfrak{H}_A$. Soit $F_x$ la facette contenant $x$ : elle est ouverte dans $A''$ et la prop. 1 montre que

d’où $W(A) = W(A') = W(F_x)$. En remplaçant A par F, on a aussi

d’où la proposition.

(i) Si H_i et H_j sont parallèles, on a m_{ij} = \infty et e_i = -e_j.

(ii) Si H_i et H_j ne sont pas parallèles, alors m_{ij} est fini et on a :

(iii) On a (e_i|e_j) \leq 0.

Si H_i et H_j sont parallèles, s_i s_j est une translation (§ 2, no 4, prop. 5), d’où m_{ij} = \infty. De plus, on a ou bien e_i = e_j, ou bien e_i = -e_j. Or il existe un point a (resp. a’) adhérent à C et appartenant à H_i (resp. H_j), mais n’appartenant pas à H_j (resp. H_i). On a alors (a’ - a|e_i) > 0 et (a - a’|e_j) > 0, ce qui exclut le cas e_i = e_j et démontre (i).

Supposons maintenant que H_i et H_j ne soient pas parallèles. Choisissons une origine a \in H_i \cap H_j et identifions T et E par la bijection t \mapsto a + t. Soit V le plan orthogonal à H_i \cap H_j passant par a. Posons \Gamma = V \cap D_{H_i}(C) \cap D_{H_j}(C) (où D_H(C) désigne le demi-espace ouvert limité par H et contenant C (§ 1, no 1)) et soit D (resp. D’) la demi-droite de V portée par H_i \cap V (resp. H_j \cap V) et contenue dans l’adhérence de \Gamma. Pour une orientation convenable de V l’ensemble \Gamma est la réunion des demi-droites ouvertes \Delta de V telles que

Soit W’ le sous-groupe de W engendré par s_i et s_j. Pour tout w \in W’, les hyperplans w(H_i) et w(H_j) appartiennent à \mathscr{S}, contiennent H_i \cap H_j et ne rencontrent pas C. Il en résulte qu’ils ne rencontrent pas \Gamma (§ 1, no 5, prop. 10). Le cor. de la prop. 7 du § 2, no 5 entraîne alors (ii).

Enfin, l’assertion (iii) résulte immédiatement de (i) et (ii), puisque m_{ij} \geq 2 pour i \neq j.

(i) Si $c_1, \ldots, c_n$ sont des nombres réels tels que $q\left( \sum_i c_i a_i \right) = 0$, on a

(ii) Si $q$ est non dégénérée et s’il existe une forme linéaire $f$ sur $V$ telle que $f(a_i) > 0$ pour tout $i$, les vecteurs $a_1, \ldots, a_n$ sont linéairement indépendants. La relation $B(a_i, a_j) \leq 0$ pour $i \neq j$ entraîne aussitôt d’où (i). Si $q$ est non dégénérée, la relation $\sum_i c_i a_i = 0$ entraîne donc pour toute forme linéaire $f$ sur $V$, on en déduit $\sum_i |c_i| \cdot f(a_i) = 0$, d’où $c_i = 0$ pour tout $i$, si de plus $f(a_i) > 0$ pour tout $i$. Cela démontre (ii).

Alors : (i) Le noyau $N$ de $q$ est de dimension 0 ou 1. Si $\dim N = 1$, $N$ est engendré par un vecteur dont toutes les coordonnées sont $> 0$. (ii) La plus petite valeur propre de $Q$ est de multiplicité 1 et un vecteur propre correspondant a toutes ses coordonnées $> 0$, ou toutes ses coordonnées $< 0$.

Comme $q$ est une forme quadratique positive, le noyau $N$ de $q$ est l’ensemble des vecteurs isotropes pour $q$ (Alg., chap. IX, § 7, no 1, cor. de la prop. 2). Soit $a_1, \ldots, a_n$ la base canonique de $\mathbf{R}^n$. Si $\sum_i c_i a_i \in N$, le lemme 3 montre que l’on a aussi $\sum_i |c_i| \cdot a_i \in N$, d’où $\sum_i q_{ji}|c_i| = 0$ pour tout $j$. Soit alors $I$ l’ensemble des $i$ tels que $c_i \neq 0$. Si $j \notin I$, on a $q_{ji}|c_i| \leq 0$ pour $i \in I$ et $q_{ji}|c_i| = 0$ pour $i \notin I$, d’où $q_{ji} = 0$ pour $j \notin I$ et $i \in I$. L’hypothèse b) entraîne donc que ou bien $I = \varnothing$, ou bien $I = \{1, \ldots, n\}$. Par suite, tout vecteur non nul de $N$ a toutes ses coordonnées $\neq 0$. Si on avait $\dim N \geq 2$, l’intersection de $N$ et de l’hyperplan d’équation $x_i = 0$ serait de dimension $\geq 1$, contrairement à ce que l’on vient de voir. En outre, ce qui précède montre que, si $\dim N = 1$, alors $N$ contient un vecteur de coordonnées toutes $> 0$. Ceci achève la démonstration de (i).

D’autre part, on sait que les valeurs propres de $Q$ sont réelles (Alg., chap. IX, § 7, no 3, prop. 5) et positives puisque $q$ est positive. Soit $\lambda$ la plus petite d’entre elles. La matrice $Q' = Q - \lambda I_n$ est alors la matrice d’une forme positive dégénérée $q'$ et les éléments non diagonaux de $Q'$ sont les mêmes que ceux de $Q$. Par suite, $Q'$ satisfait aux conditions $a), b)$ et c) de l’énoncé. Comme le noyau $N'$ de $q'$ est le sous-espace propre de $Q$ correspondant à la valeur propre $\lambda$, l’assertion (ii) résulte de (i).

Posons $q_{ij} = (e_i|e_j)$. La matrice $Q = (q_{ij})$ satisfait alors aux hypothèses du lemme 4 : les conditions a) et b) du lemme 4 sont les mêmes que les conditions a) et b) ci-dessus, et c) est satisfaite puisque $\sum_{i,j} q_{ij} x_i x_j = \sum_i ||x_i e_i||^2$. Le noyau $N$ de la forme quadratique $q$ sur $\mathbf{R}^n$, de matrice $Q$, est l’ensemble des $(c_1, \ldots, c_n) \in \mathbf{R}^n$ tels que $\sum_i c_i e_i = 0$. Si $N = \{0\}$, les $e_i$ sont linéairement indépendants et l’on est dans le cas 1). Si $\dim N > 0$, le lemme 4 (i) montre que l’on est dans le cas 2).

Plaçons-nous dans les hypothèses de (i) et supposons qu’il existe un $i$ tel que $c_i < 0$. Soit $f$ la forme linéaire sur $T$ définie par $f(e_i) = 1$ et

pour $j \neq i$.

Les vecteurs — $x, e_1, \ldots, e_n$ satisfont alors aux hypothèses du lemme 3 (ii) (en prenant pour $q$ la forme métrique de $T$). On en conclut qu’ils sont linéairement indépendants, ce qui est absurde. D’où (i). De plus, si $x = \sum_i c_i e_i \in T$ et si $y \in T$, on a $(x|y) = \sum_i c_i (e_i|y)$, de sorte que (ii) résulte immédiatement de (i).

Pour $a, a' \in A$ tels que $a \neq a'$, on a :

Or, la sphère unité S de T étant compacte, il existe un recouvrement fini de S par des ensembles de diamètre $< (2 - 2\lambda)^{1/2}$ et chacun de ces ensembles contient au plus un point de A, d’où le lemme.

Notons $U(w)$ l’automorphisme de T associé à l’application affine $w \bullet W$ de E dans lui-même. On a

On définit ainsi un homomorphisme $U$ du groupe W dans le groupe orthogonal de T ; le noyau de $U$ est l’ensemble des translations appartenant à W.

L’assertion (i) résulte aussitôt de la prop. 3, (iii) et du lemme 7. Démontrons (ii). Soient C une chambre et $\mathfrak{M}$ l’ensemble de ses murs. Les facettes de $\overline{C}$ (relativement à $\mathfrak{H}$) sont les mêmes que celles relativement à $\mathfrak{M}$ ($§ 1$, no 4, prop. 9). Puisque $\mathfrak{M}$ est fini, elles sont en nombre fini. Comme une facette ne rencontre qu’un nombre fini d’hyperplans appartenant à $\mathfrak{H}$, l’ensemble des hyperplans appartenant à $\mathfrak{H}$ et rencontrant $\overline{C}$ est fini, ainsi que l’ensemble $A(C)$ des vecteurs unitaires de T orthogonaux à un hyperplan appartenant à $\mathfrak{H}$ et rencontrant $\overline{C}$. Par suite, il existe un nombre réel $\lambda < 1$ tel que $(a|a') \leq \lambda$ pour $a, a' \in A(C)$ et $a \neq a'$.

Soit alors A l’ensemble des vecteurs unitaires de T qui sont orthogonaux à un hyperplan appartenant à $\mathfrak{H}$. Soient $a, a' \in A$ avec $a \neq a'$. Si $a$ et $a'$ sont parallèles, on a $a = -a'$ et $(a|a') = -1$. Sinon, soit $H \in \mathfrak{H}$ (resp. $H' \in \mathfrak{H}$) tel que $a$ (resp. $a'$) soit orthogonal à $H$ (resp. $H'$). On a $H \cap H' \neq \emptyset$, et si $x \in H \cap H'$, il existe un élément $w \in W$ tel que $x \in w(\overline{C})$. Les vecteurs $U(w).a$ et $U(w).a'$ appartiennent alors à $A(C)$, l’on a :

et l’ensemble A est fini d’après le lemme 7. D’où (ii).

Soit maintenant $w \in W$ tel que $U(w).a = a$ pour tout $a \in A$. On a alors $U(w).t = t$ pour tout $t$ appartenant au sous-espace de T engendré par A. D’autre part, si $t \in T$ est orthogonal à A, on a $U(s_H).t = t$ pour tout $H \in \mathfrak{H}$, d’où $U(w).t = t$ et finalement $U(w) = 1$. Comme $U(w)(A) = A$ pour tout $w \in W$, on en déduit que $U(W)$ est isomorphe à un groupe de permutations de l’ensemble fini A, d’où (iii).

Pour $H \in \mathfrak{N}$, notons $e_H$ le vecteur unitaire orthogonal à $H$ situé du même côté que $C$ de $H$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Le groupe $W_{\mathfrak{N}}$ est fini. (ii) Il existe un point de $E$ invariant par tout élément de $W_{\mathfrak{N}}$. (iii) Les hyperplans appartenant à $\mathfrak{N}$ ont une intersection non vide. (iv) La famille de vecteurs $(e_H)_{H \in \mathfrak{N}}$ est libre dans $T$.

Supposons que $W_{\mathfrak{N}}$ ait un cardinal fini $d$. Pour tout point $a$ de $E$, le point $b = \sum_{w \in W_{\mathfrak{N}}} d^{-1} \cdot w(a)$ est invariant par $W_{\mathfrak{N}}$, donc (i) entraîne (ii).

D’après la propriété (D 2) du début du § 3, le stabilisateur dans $W$ de tout point de $E$ est fini, donc (ii) entraîne (i).

Comme le groupe $W_{\mathfrak{N}}$ est engendré par l’ensemble des réflexions par rapport aux hyperplans appartenant à $\mathfrak{N}$, les points fixes de $W_{\mathfrak{N}}$ sont les points de $E$ appartenant à tout hyperplan $H \in \mathfrak{N}$, d’où l’équivalence de (ii) et (iii).

Supposons qu’il existe un point $a$ de $E$ tel que $a \in H$ pour tout $H \in \mathfrak{N}$ et soit $t \in T$ tel que $a + t \in C$. Puisque $(e_H|e_{H'}) \leq 0$ pour $H, H' \in \mathfrak{N}$, tels que $H \neq H'$ (prop. 3), et que $(t|e_H) > 0$ pour tout $H \in \mathfrak{N}$, le lemme 3 (ii) entraîne que les $e_H$ pour $H \in \mathfrak{N}$ sont linéairement indépendants. Par suite (iii) entraîne (iv).

Supposons enfin que la famille $(e_H)_{H \in \mathfrak{N}}$ soit libre. Soit $a$ un point de $E$. Pour tout hyperplan $H \in \mathfrak{N}$, il existe un nombre réel $c_H$ tel que $H$ se compose des points $a + t$ de $E$ avec $(t|e_H) = c_H$. Puisque la famille $(e_H)$ est libre, il existe $t \in T$ tel que $(t|e_H) = c_H$ pour tout $H \in \mathfrak{N}$, et le point $a + t$ de $E$ appartient à tous les hyperplans $H \in \mathfrak{N}$. Donc (iv) entraîne (iii).

(i) Le groupe W est produit direct des sous-groupes $W_p$ ($1 \leq p \leq s$).

(ii) L’espace T est somme directe orthogonale des sous-espaces $T_0, T_1, \ldots, T_s$, qui sont stables par $U(W)$.

(iii) Pour tout q tel que $1 \leq q \leq s$, le sous-espace $T'_q$ de T est formé des vecteurs invariants par $U(W_q)$; il est somme directe des $T_p$ pour $0 \leq p \leq s$ et $p \neq q$.

(iv) Soit C une chambre. Le sous-espace $T_p$ (pour $1 \leq p \leq s$) est engendré par les vecteurs $e_i(C)$ pour $i \in J_p$ (notations du n° 4).

(v) Les représentations de W dans les sous-espaces $T_p$ ($1 \leq p \leq s$) sont absolument irréductibles, non triviales, et deux à deux non équivalentes.

L’assertion (i) résulte du chap. IV, § 1, n° 9. D’autre part, nous avons déjà vu que les sous-espaces $T_p$ sont invariants par $U(W)$, et il en est de même de $T_0$. Soit C une chambre; comme $W_p$ est engendré par les réflexions $s_i(C)$ pour $i \in J_p$, il est clair que $T'_p$ est le sous-espace orthogonal aux $e_i(C)$ pour $i \in J_p$, d’où (iv). Par ailleurs, si $i \in J_p, j \in J_q$ avec $p \neq q$, on a $m_{ij} = 2$ puisque $\{i, j\}$ n’est pas une arête du graphe de Coxeter de W, d’où $(e_i|e_j) = 0$. On en déduit aussitôt (ii). L’assertion (iii) en résulte, puisque $T'_q$ est l’orthogonal de $T_q$.

Enfin, soit V un sous-espace de $T_p$ invariant par $U(W_p)$. Pour tout $i \in J_p$, ou bien on a $e_i \in V$, ou bien $e_i$ est orthogonal à V ($§ 2$, n° 2, prop. 3). Soit A (resp. B) l’ensemble des $i \in J_p$ tels que $e_i \in V$ (resp. $e_i$ orthogonal à V). On a évidemment $(e_i|e_j) = 0$ pour $i \in A$ et $j \in B$, et puisque $J_p$ est connexe, on en déduit, ou bien $A = \emptyset$ et $V = \{0\}$, ou bien $A = J_p$ et $V = T_p$. Par suite, la représentation de $W_p$ dans $T_p$ est irréductible, donc absolument irréductible ($§ 2$, n° 1, prop. 1). Elle est non triviale par définition même de $T_p$. Enfin, la dernière assertion de (v) résulte aussitôt de (iii).

On dit que W est essentiel si le sous-espace T_0 des vecteurs de T invariants par U(W) est réduit à {0}; on dit que W est irréductible si la représentation U de W dans T est irréductible.

(ii) Soit $\mathfrak{H}_p$ l’ensemble des hyperplans $H$ de $E_p$ tels que $s_H \in W_p$. L’ensemble $\mathfrak{H}$ se compose des hyperplans de la forme

avec $p = 1, \ldots, s$ et $H_p \in \mathfrak{H}_p$.

(iii) Toute chambre $C$ est de la forme $E_0 \times C_1 \times \cdots \times C_s$, où pour chaque $p$ l’ensemble $C_p$ est une chambre définie dans $E_p$ par l’ensemble d’hyperplans $\mathfrak{H}_p$; de plus $C_p$ admet pour murs les hyperplans $\varphi_p(H_i(C))$ pour $i \in J_p$.

Soit $C$ une chambre. Posons $H_i = H_i(C)$, $e_i = e_i(C)$ et $s_i = s_i(C)$ pour $i \in I$ (notations du no 4).

(i) Soit $i$ dans $J_p$; comme on a $e_i \in T_p$ et que $T$ est somme directe des sous-espaces mutuellement orthogonaux $T_0, T_1, \ldots, T_s$, l’hyperplan de $T$ orthogonal à $e_i$ est de la forme $L_i + T'_p$ où $L_i$ est l’hyperplan de $T_p$ orthogonal à $e_i$. L’hyperplan affine $H_i$ de $E$ est de la forme $L_i + T'_p + x$, avec $x \in E$, et on a :

avec $H'_i = L_i + \varphi_p(x) = \varphi_p(H_i)$. Il est alors immédiat que $s_i$ opère dans $E_p$ par la réflexion associée à l’hyperplan $H'_i$ de $E_p$. Donc le groupe $W_p$ est un groupe de déplacements engendré par des réflexions dans $E_p$; la vérification du critère (D’ 2) de propreté est immédiate. Enfin, la prop. 5, (v) montre que $W_p$ est irréductible. On a prouvé (i).

(ii) D’après le cor. du th. 1, l’ensemble $\mathfrak{H}_p$ se compose des hyperplans de la forme $w_p(H'_i)$ pour $i$ dans $J_p$ et $w_p$ dans $W_p$. Par ailleurs, si $w = w_1 \ldots w_s$ avec $w_p \in W_p$ pour tout $p$, les formules (5) et (6) entraînent

d’où immédiatement (ii).

(iii) Soit $i$ dans $J_p$; d’après la formule (6), le demi-espace ouvert $D_i$ limité par $H_i$ contenant $C$ est de la forme

où $D'_i$ est un demi-espace ouvert limité par $H'_i$ dans $E_p$. Posons $C_p = \bigcap_{i \in J_p} D'_i$; puisque l’on a $C = \bigcap_{i \in I} D_i$, on en déduit immédiatement par suite aucun des ensembles $C_p$ n’est vide, et comme $C$ ne rencontre aucun hyperplan appartenant à $\mathfrak{S}$, l’ensemble $C_p$ ne rencontre aucun hyperplan appartenant à $\mathfrak{S}_p$. La prop. 5 du § 1, no 3 montre alors que $C_p$ est l’une des chambres définies par $\mathfrak{S}_p$ dans $E_p$. En utilisant la prop. 4 du § 1, no 2, on voit facilement que les murs de $C_p$ sont les hyperplans $H'_i = \varphi_p(H_i)$ pour $i \in J_p$.