Thật vậy, cho K là một tập con compact của E. Nếu một siêu phẳng H ∈ $\mathscr{H}$ gặp K, thì tập hợp s_H(K) cũng gặp K, vì mọi điểm của K ∩ H đều bất động qua s_H. Tập hợp các H ∈ $\mathscr{H}$ gặp K do đó là hữu hạn theo (D'2).

Do đó ta có thể áp dụng cho E và $\mathscr{H}$ các định nghĩa và các kết quả của $§ 1$. Ta sẽ gọi các buồng, mặt, tường, v.v. được xác định trong E bởi $\mathscr{H}$ đơn giản là các buồng, mặt, tường, v.v. tương đối với W. Mọi phép dời w ∈ W hoán vị các buồng, mặt, tường, v.v.

Cho M là tập hợp các tường của C và cho W_M là nhóm con của W được sinh bởi các phản xạ đối với các tường của C.

(i) Cho x ∈ E và cho J là quỹ đạo của x dưới tác động của nhóm W_M. Chỉ cần chứng minh rằng J gặp $\overline{C}$.

Cho a là một điểm của C; có một quả cầu đóng B tâm a gặp J; vì B là compact, tính chất (D'2) của no. 1 cho thấy B ∩ J là hữu hạn. Do đó, tồn tại một điểm y của J sao cho

Ta sẽ chứng minh rằng y ∈ $\overline{C}$. Để làm điều này, chỉ cần chỉ ra rằng nếu H là một tường của C thì y ∈ D_H(C) (xem $§ 1$, no. 4, Mệnh đề 9). Vì s_H ∈ W_M, ta có s_H(y) ∈ J và do đó (hình 1)

theo (1). Có b ∈ H và hai vectơ t và u sao cho a = b + t và y = b + u, vectơ u trực giao với H; khi đó s_H(y) = b − u, và (2) tương đương với $(t-u|t-u) \leq (t+u|t+u)$, hoặc tương đương với $(t|u) \geq 0$. Bất đẳng thức này suy ra rằng $y \in D_H(C)$.


(ii) Cho $C'$ là một buồng và $a' \in C'$. Theo điều đã chứng minh, tồn tại $w \in W_{\mathfrak{m}}$ sao cho $w^{-1}(a') \in \overline{C}$; do đó, buồng $C'$ gặp $w(C)$; vì $w(C)$ là hợp của $w(C)$ và các mặt có phần trong rỗng (§ 1, no. 2, Mệnh đề 3), ta có $C' = w(C)$.

(iii) Ta phải chứng minh rằng $W = W_{\mathfrak{m}}$ và để làm điều này chỉ cần chứng minh rằng $s_{H'} \in W_{\mathfrak{m}}$ với mọi $H' \in \mathfrak{H}$. Bây giờ $H'$ là một tường của ít nhất một buồng $C'$ (§ 1, no. 4, Mệnh đề 8); ta đã thấy rằng tồn tại $w \in W_{\mathfrak{m}}$ sao cho $C' = w(C)$; do đó, tồn tại một tường $H$ của $C$ sao cho $H' = w(H)$, suy ra $s_{H'} = w.s_H.w^{-1} \in W_{\mathfrak{m}}$.

(i) Cặp $(W, S)$ là một hệ Coxeter.

(ii) Cho $w \in W$ và cho $H$ là một tường của $C$. Quan hệ $l(s_H w) > l(w)$ suy ra rằng các buồng $C$ và $w(C)$ nằm cùng một phía của $H$.

(iii) Với mọi buồng $C'$, tồn tại một phần tử duy nhất $w \in W$ sao cho $w(C) = C'$.

(iv) Tập hợp các siêu phẳng $H$ sao cho $s_H \in W$ bằng $\mathfrak{H}$.

Mọi phần tử của $S$ có cấp 2 và Bổ đề 2 chỉ ra rằng $S$ sinh $W$. Với mọi tường $H$ của $C$, ký hiệu $P_H$ là tập hợp các phần tử $w \in W$ sao cho các phòng $C$ và $w(C)$ (không gặp $H$) nằm cùng phía của $H$. Ta sẽ kiểm tra các điều kiện (A'), (B') và (C) của Chương IV, § 1, no. 7.

(A') $1 \in P_H$: Tầm thường.

(B') $P_H$ và $s_H.P_H$ rời nhau: Thật vậy, $w(C)$ và $s_H w(C)$ nằm ở các phía đối nhau của $H$, nên nếu $w(C)$ nằm cùng phía của $H$ với $C$, thì nó không nằm cùng phía với $s_H w(C)$.

(C) Cho $w \in P_H$ và cho $H'$ là một tường của $C$ sao cho $w s_{H'} \notin P_H$; khi đó $w s_{H'} = s_H w$: Theo giả thiết, $w(C)$ nằm cùng phía của $H$ với $C$ và $w s_{H'}(C)$ nằm ở phía kia. Do đó, $w s_{H'}(C)$ và $w(C)$ nằm ở các phía đối nhau của H; suy ra, các phòng $s_{H'}(C)$ và C nằm ở các phía đối nhau của siêu phẳng $w^{-1}(H)$. Cho $a$ là một điểm của mặt của C có giá $H'$. Điểm $a = s_{H'}(a)$ nằm trong bao đóng của hai phòng C và $s_{H'}(C)$ được chứa lần lượt trong hai nửa không gian mở bị chặn bởi $w^{-1}(H)$; do đó, $a \in w^{-1}(H)$, vậy $H' = w^{-1}(H)$. Từ đó suy ra rằng $s_{H'} = w^{-1}s_Hw$, do đó $ws_{H'} = s_Hw$.

Các khẳng định (i) và (ii) suy ra từ điều này và Mệnh đề 6 của Chương IV, § 1, no. 7. Hơn nữa, ta có (loc. cit., điều kiện (A))

Bổ đề 2 chỉ ra rằng W tác động bắc cầu trên tập hợp các phòng. Hơn nữa, nếu $w \in W$ sao cho $w(C) = C$, thì $w \in P_H$ với mọi tường H của C, do đó $w = 1$ theo (3). Điều này chứng minh (iii).

Cuối cùng, cho H là một siêu phẳng sao cho $s_H \in W$. Nếu H không thuộc về $\mathfrak{H}$, thì sẽ có ít nhất một phòng $C'$ gặp H (§ 1, no. 3, Mệnh đề 7). Mọi điểm của $H \cap C'$ đều bất biến dưới tác động của $s_H$, và do đó thuộc về các phòng $C'$ và $s_H(C')$; vậy $C' = s_H(C')$, điều này mâu thuẫn với (iii) vì $s_H \neq 1$.

Cho $\mathfrak{H}'$ là tập hợp các siêu phẳng có dạng $w(H)$ với $w \in W$ và $H \in \mathfrak{H}$ sao cho $s_H \in \Sigma$. Vì W được sinh bởi họ $(s_H)_{H \in \mathfrak{H}'}$ và vì $\mathfrak{H}'$ ổn định dưới tác dụng của W, ta có thể áp dụng tất cả các kết quả của mục này cho $\mathfrak{H}'$ thay vì $\mathfrak{H}$; nhưng Định lý 1, (iv) chỉ ra rằng mọi phép phản xạ trong W đều có dạng $s_H$ với $H \in \mathfrak{H}'$, do đó có hệ quả.

(iv) $w$ cố định ít nhất một điểm của F; (v) $w$ cố định mọi điểm của F; (vi) $w$ cố định mọi điểm của $\overline{F}$; (vii) $w$ thuộc nhóm con của W được sinh bởi các phép phản xạ đối với các vách của C chứa F.

Với mọi tập con $A$ của $E$, ký hiệu $W(A)$ là nhóm con của $W$ gồm các phần tử cố định mọi điểm của $A$.

Trước hết ta chứng minh mệnh đề sau:

(I) Cho $C$ là một phòng, cho $x$ và $y$ là hai điểm của $\overline{C}$ và cho $w \in W$ sao cho $w(x) = y$. Khi đó $x = y$ và $w$ thuộc nhóm con $W_{\mathfrak{N}}$, trong đó $\mathfrak{N}$ là tập hợp các tường của $C$ chứa $x$.

Ta lập luận bằng quy nạp theo độ dài $q$ của $w$ (đối với tập hợp $S$ các phép phản xạ đối với các tường của $C$), trường hợp $q = 0$ là hiển nhiên. Nếu $q \geq 1$, tồn tại một tường $H$ của $C$ và một phần tử $w' \in W$ sao cho $w = s_H w'$ và $l(w') = q - 1$. Vì $l(s_H w) < l(w)$, các phòng $C$ và $w(C)$ nằm ở các phía đối của $H$ theo Định lý 1 của no. 2. Do đó, $\overline{C} \cap w(\overline{C}) \subset H$, nên $y \in H$. Vì vậy $y = w'(x)$ và giả thiết quy nạp suy ra rằng $x = y$ và $w' \in W_{\mathfrak{N}}$. Vì $y \in H$, suy ra rằng $H \in \mathfrak{N}$, và do đó $w = s_H w' \in W_{\mathfrak{N}}$, hoàn thành chứng minh của (I).

Chứng minh Định lý 2: điều này suy ra từ (I) và Bổ đề 2.

Chứng minh Mệnh đề 1: ta biết rằng hai diện phân biệt là rời nhau và có các bao đóng phân biệt (§ 1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 3). Sự tương đương của (i), (ii) và (iii) suy ra. Mặt khác, rõ ràng là

và mệnh đề (I) chỉ ra rằng (i) $\Longrightarrow$ (vii).

Chứng minh Mệnh đề 2: cho $A''$ là không gian con afin của $E$ sinh bởi $A$. Rõ ràng, $W(A) = W(A'')$. Theo Mệnh đề 7 của § 1, no. 3, tồn tại một điểm $x \in A''$ không thuộc bất kỳ siêu phẳng nào $H \in \mathfrak{H} - \mathfrak{H}_A$. Gọi $F_x$ là diện chứa $x$: nó mở trong $A''$ và Mệnh đề 1 chỉ ra rằng

do đó $W(A) = W(A') = W(F_x)$. Thay $A$ bởi $F$, ta cũng có

do đó có mệnh đề.

(i) Nếu $H_i$ và $H_j$ song song, thì $m_{ij} = \infty$ và $e_i = -e_j$.

(ii) Nếu $H_i$ và $H_j$ không song song, thì $m_{ij}$ hữu hạn và

(iii) Ta có $(e_i|e_j) \leq 0$.

Nếu $H_i$ và $H_j$ song song, $s_i s_j$ là một phép tịnh tiến (§ 2, no. 4, Mệnh đề 5), do đó $m_{ij} = \infty$. Hơn nữa, hoặc là $e_i = e_j$ hoặc là $e_i = -e_j$. Bây giờ, tồn tại một điểm $a$ (tương ứng $a'$) trong bao đóng của C thuộc về $H_i$ (tương ứng $H_j$) nhưng không thuộc về $H_j$ (tương ứng $H_i$). Khi đó $(a' - a|e_i) > 0$ và $(a - a'|e_j) > 0$, điều này loại trừ trường hợp $e_i = e_j$ và chứng minh (i).

Giả sử bây giờ rằng $H_i$ và $H_j$ không song song. Chọn một gốc $a \in H_i \cap H_j$ và đồng nhất T với E bằng song ánh $t \mapsto a + t$. Gọi V là mặt phẳng vuông góc với $H_i \cap H_j$ và đi qua $a$. Đặt $\Gamma = V \cap D_{H_i}(C) \cap D_{H_j}(C)$ (trong đó $D_H(C)$ ký hiệu nửa không gian mở bị chặn bởi H và chứa C ($§ 1$, no. 1)) và gọi D (tương ứng, $D'$) là nửa đường thẳng trong V được chứa trong $H_i \cap V$ (tương ứng, $H_j \cap V$) và trong bao đóng của $\Gamma$. Với một định hướng thích hợp của V, tập hợp $\Gamma$ là hợp của các nửa đường thẳng mở $\Delta$ trong V sao cho

Gọi $W'$ là nhóm con của W sinh bởi $s_i$ và $s_j$. Với mọi $w \in W'$, các siêu phẳng $w(H_i)$ và $w(H_j)$ thuộc $\mathscr{H}$, chứa $H_i \cap H_j$ và không gặp C. Suy ra rằng chúng không gặp $\Gamma$ ($§ 1$, no. 5, Prop. 10). Hệ quả của Mệnh đề 7 của $§ 2$, no. 5 do đó kéo theo (ii).

Cuối cùng, mệnh đề (iii) suy ra ngay lập tức từ (i) và (ii), vì $m_{ij} \geq 2$ với $i \neq j$.

(i) Nếu $c_1, \ldots, c_n$ là các số thực sao cho $q \left( \sum_i c_i a_i \right) = 0$, thì

(ii) Nếu q không suy biến và tồn tại một dạng tuyến tính f trên V sao cho $f(a_i) > 0$ với mọi i, thì các vectơ $a_1, \ldots, a_n$ độc lập tuyến tính.

Quan hệ $B(a_i, a_j) \leq 0$ với $i \neq j$ ngay lập tức suy ra rằng

do đó có (i). Nếu q không suy biến, quan hệ $\sum_i c_i a_i = 0$ do đó suy ra rằng suy ra rằng, với mọi dạng tuyến tính f trên V, ta có $\sum_i |c_i| f(a_i) = 0$, và do đó $c_i = 0$ với mọi i nếu ta cũng có $f(a_i) > 0$ với mọi i. Điều này chứng minh (ii).

Vậy: (i) Hạt nhân N của q có chiều 0 hoặc 1. Nếu $\dim N = 1$, thì N được sinh bởi một vectơ mà mọi tọa độ của nó đều > 0. (ii) Trị riêng nhỏ nhất của Q có bội số 1 và một vectơ riêng tương ứng có tất cả các tọa độ > 0 hoặc tất cả các tọa độ < 0.

Vì q là một dạng toàn phương dương, hạt nhân N của q là tập hợp các vectơ đẳng hướng của q (Đại số, Chap. IX, § 7, no. 1, Hệ quả của Mệnh đề 2). Cho $a_1, \ldots, a_n$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$. Nếu $\sum_i c_i a_i \in N$, Bổ đề 3 cho thấy rằng ta cũng có $\sum_i |c_i| a_i \in N$, và do đó $\sum_i q_{ji} |c_i| = 0$ với mọi j. Gọi I là tập các i sao cho $c_i \neq 0$. Nếu $j \notin I$, thì $q_{ji} |c_i| \leq 0$ với $i \in I$ và $q_{ji} |c_i| = 0$ với $i \notin I$, nên $q_{ji} = 0$ với $j \notin I$ và $i \in I$. Giả thiết b) vì thế suy ra rằng hoặc $I = \varnothing$ hoặc $I = \{1, \ldots, n\}$. Do đó, mọi vectơ khác không trong N đều có tất cả các tọa độ của nó $\neq 0$. Nếu $\dim N \geq 2$, giao của N với siêu phẳng có phương trình $x_i = 0$ sẽ có chiều $\geq 1$, trái với điều vừa chứng minh. Lập luận trên cũng cho thấy rằng, nếu $\dim N = 1$, thì N chứa một vectơ mà mọi tọa độ của nó đều > 0. Điều này chứng minh (i).

Mặt khác, ta biết rằng các trị riêng của Q là thực (Đại số, Chap. IX, § 7, no. 3, Mệnh đề 5) và dương vì q dương. Gọi $\lambda$ là trị nhỏ nhất trong số đó. Khi đó ma trận $Q' = Q - \lambda I_n$ là ma trận của một dạng dương suy biến $q'$ và các phần tử ngoài đường chéo của $Q'$ giống như của Q. Do đó, $Q'$ thỏa các điều kiện a), b) và c) của phát biểu của bổ đề. Vì hạt nhân $N'$ của $q'$ là không gian riêng của Q ứng với trị riêng $\lambda$, mệnh đề (ii) suy ra từ (i).

Khi đó có hai khả năng: 1) $(e_1, \ldots, e_n)$ là một cơ sở của T; 2) $n = \dim T + 1$; tồn tại một họ $(c_i)_{1 \leq i \leq n}$ các số thực $> 0$ sao cho $\sum_i c_i e_i = 0$, và mọi họ $(c'_i)_{1 \leq i \leq n}$ các số thực sao cho $\sum_i c'_i e_i = 0$ đều tỉ lệ với $(c_i)_{1 \leq i \leq n}$.

Đặt $q_{ij} = (e_i|e_j)$. Khi đó ma trận $Q = (q_{ij})$ thỏa các giả thiết của Bổ đề 4: các điều kiện a) và b) của Bổ đề 4 giống với các điều kiện a) và b) ở trên, và c) được thỏa vì $\sum_{i,j} q_{ij} x_i x_j = \| \sum_i x_i e_i \|_2^2$. Hạt nhân N của dạng toàn phương $q$ trên $\mathbf{R}^n$, với ma trận $Q$, là tập hợp các $(c_1, \ldots, c_n) \in \mathbf{R}^n$ sao cho $\sum_i c_i e_i = 0$. Nếu $N = \{0\}$, thì các $e_i$ phụ thuộc tuyến tính và ta ở trường hợp 1). Nếu $\dim N > 0$, Bổ đề 4 (i) cho thấy ta ở trường hợp 2).

(i) Nếu $x = \sum_i c_i e_i \in T$ là sao cho $(x|e_i) \geq 0$ với mọi $i$, thì $c_i \geq 0$ với mọi $i$.

(ii) Nếu $x$ và $y$ là hai phần tử của $T$ sao cho $(x|e_i) \geq 0$ và $(y|e_i) \geq 0$ với mọi $i$, thì $(x|y) \geq 0$. Nếu $(x|e_i) > 0$ và $(y|e_i) > 0$ với mọi $i$, thì $(x|y) > 0$.

Dưới các giả thiết của (i), giả sử rằng $c_i < 0$ với một $i$ nào đó. Gọi $f$ là dạng tuyến tính trên $T$ được xác định bởi $f(e_i) = 1$ và

Các vectơ $-x, e_1, \ldots, e_n$ khi đó thỏa mãn các giả thiết của Bổ đề 3 (ii) (lấy $q$ là dạng metric trên $T$). Ta kết luận rằng chúng độc lập tuyến tính, điều này là vô lý. Do đó có (i). Hơn nữa, nếu $x = \sum_i c_i e_i \in T$ và nếu $y \in T$, thì $(x|y) = \sum_i c_i (e_i|y)$, do đó (ii) suy ra ngay lập tức từ (i).

Với $a, a' \in A$ sao cho $a \neq a'$, ta có

Bây giờ, mặt cầu đơn vị $S$ của $T$ là compact, nên tồn tại một phủ hữu hạn của $S$ bởi các tập hợp có đường kính $< (2 - 2\lambda)^{1/2}$ và mỗi tập hợp này chứa nhiều nhất một điểm của $A$, do đó có bổ đề.

Ký hiệu bởi $U(w)$ tự đẳng cấu của $T$ liên kết với ánh xạ affine $w \in W$ từ $E$ vào chính nó. Ta có

Điều này xác định một đồng cấu $U$ từ nhóm $W$ vào nhóm trực giao của $T$; hạt nhân của $U$ là tập hợp các phép tịnh tiến thuộc $W$.

Mệnh đề (i) suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 3, (iii) và Bổ đề 7.

Ta chứng minh (ii). Cho $C$ là một phòng và $M$ là tập hợp các tường của nó. Các mặt của $\overline{C}$ (đối với $\mathfrak{H}$) cũng chính là các mặt đối với $M$ (§ 1, no. 4, Mệnh đề 9).

Vì $\mathfrak{M}$ là hữu hạn, chúng có số lượng hữu hạn. Vì một mặt bên chỉ gặp hữu hạn siêu phẳng thuộc $\mathfrak{H}$, tập hợp các siêu phẳng thuộc $\mathfrak{H}$ và gặp $\overline{C}$ là hữu hạn, do đó tập hợp $A(C)$ các vectơ đơn vị trong $T$ vuông góc với một siêu phẳng nào đó thuộc $\mathfrak{H}$ và gặp $\overline{C}$ cũng là hữu hạn. Do đó, tồn tại một số thực $\lambda < 1$ sao cho $(a|a') \leq \lambda$ với $a, a' \in A(C)$ và $a \neq a'$.

Gọi $A$ là tập hợp các vectơ đơn vị trong $T$ vuông góc với một siêu phẳng thuộc $\mathfrak{H}$. Cho $a, a' \in A$ với $a \neq a'$. Nếu $a$ và $a'$ song song, thì $a = -a'$ và $(a|a') = -1$. Ngược lại, gọi $H \in \mathfrak{H}$ (tương ứng $H' \in \mathfrak{H}$) là sao cho $a$ (tương ứng $a'$) vuông góc với $H$ (tương ứng $H'$). Ta có $H \cap H' \neq \varnothing$, và nếu $x \in H \cap H'$ thì tồn tại một phần tử $w \in W$ sao cho $x \in w(\overline{C})$. Các vectơ $U(w).a$ và $U(w).a'$ khi đó thuộc $A(C)$, ta có

và tập hợp $A$ là hữu hạn theo Bổ đề 7. Do đó (ii).

Bây giờ cho $w \in W$ sao cho $U(w).a = a$ với mọi $a \in A$. Khi đó $U(w).t = t$ với mọi $t$ thuộc không gian con của $T$ sinh bởi $A$. Mặt khác, nếu $t \in T$ vuông góc với $A$, ta có $U(s_H).t = t$ với mọi $H \in \mathfrak{H}$, do đó $U(w).t = t$ và cuối cùng $U(w) = 1$. Vì $U(w)(A) = A$ với mọi $w \in W$, ta suy ra rằng $U(W)$ đẳng cấu với một nhóm các phép hoán vị của tập hợp hữu hạn $A$, do đó (iii).

Theo tính chất (D2) ở đầu § 3, nhóm ổn định trong $W$ của mọi điểm của $E$ là hữu hạn, do đó (ii) kéo theo (i).

Vì nhóm $W_{\mathfrak{N}}$ được sinh bởi tập hợp các phép phản xạ đối với các siêu phẳng thuộc $\mathfrak{N}$, các điểm bất động của $W_{\mathfrak{N}}$ là các điểm của $E$ thuộc mọi siêu phẳng $H \in \mathfrak{N}$, do đó có sự tương đương của (ii) và (iii).

Giả sử tồn tại một điểm $a$ của $E$ sao cho $a \in H$ với mọi $H \in \mathfrak{N}$ và cho $t \in T$ sao cho $a + t \in C$. Vì $(e_H|e_{H'}) \leq 0$ đối với $H, H' \in \mathfrak{N}$ sao cho $H \neq H'$ (Mệnh đề 3), và vì $(t|e_H) > 0$ với mọi $H \in \mathfrak{N}$, Bổ đề 3 (ii) kéo theo rằng các $e_H$ với $H \in \mathfrak{N}$ là độc lập tuyến tính. Do đó, (iii) kéo theo (iv).

Cuối cùng, giả sử rằng họ $(e_H)_{H \in \mathfrak{N}}$ là tự do. Cho $a$ là một điểm của $E$. Với mọi siêu phẳng $H \in \mathfrak{N}$, tồn tại một số thực $c_H$ sao cho $H$ gồm các điểm $a + t$ của $E$ với $(t|e_H) = c_H$. Vì họ $(e_H)$ là tự do, tồn tại $t \in T$ sao cho $(t|e_H) = c_H$ với mọi $H \in \mathfrak{N}$, và điểm $a + t$ của $E$ thuộc mọi siêu phẳng $H \in \mathfrak{N}$. Vậy, (iv) kéo theo (iii).

(i) Nhóm W là tích trực tiếp của các nhóm $W_p$ ($1 \leq p \leq s$). (ii) Không gian T là tổng trực tiếp trực giao của các không gian con $T_0, T_1, \ldots, T_s$, tất cả đều ổn định dưới U(W). (iii) Với mọi q sao cho $1 \leq q \leq s$, không gian con $T'_q$ của T gồm các vectơ bất biến dưới U(Wq); nó là tổng trực tiếp của các $T_p$ với $1 \leq p \leq s$ và $p \neq q$.*

(iv) Cho C là một buồng. Không gian con T_p (với $1 \leq p \leq s$) được sinh bởi các vectơ $e_i(C)$ với $i \in J_p$ (theo ký hiệu của no. 4).

(v) Các biểu diễn của W trong các không gian con T_p ($1 \leq p \leq s$) là tuyệt đối bất khả quy, không tầm thường, và từng đôi một không tương đương.

Mệnh đề (i) suy ra từ Chap. IV, §1, no. 9. Mặt khác, ta đã thấy rằng các không gian con T_p là bất biến dưới U(W), và T_0 cũng vậy. Cho C là một buồng; vì W_p được sinh bởi các phép phản xạ $s_i(C)$ với $i \in J_p$, rõ ràng rằng $T'_p$ là không gian con trực giao với các $e_i(C)$ với $i \in J_p$, do đó (iv). Hơn nữa, nếu $i \in J_p, j \in J_q$ với $p \neq q$, thì $m_{ij} = 2$ vì $\{i, j\}$ không là một cạnh của đồ thị Coxeter của W, nên $(e_i|e_j) = 0$. Mệnh đề (ii) bây giờ là ngay lập tức. Và mệnh đề (iii) suy ra, vì $T'_q$ là phần bù trực giao của $T_q$.

Cuối cùng, cho V là một không gian con của T_p bất biến dưới U(W_p). Với mọi $i \in J_p$, hoặc $e_i \in V$ hoặc $e_i$ trực giao với V (§ 2, no. 2, Mệnh đề 3). Gọi A (resp. B) là tập hợp các $i \in J_p$ sao cho $e_i \in V$ (resp. $e_i$ trực giao với V). Rõ ràng $(e_i|e_j) = 0$ với $i \in A$ và $j \in B$, và vì $J_p$ liên thông, suy ra hoặc $A = \varnothing$ và $V = \{0\}$, hoặc $A = J_p$ và $V = T_p$. Do đó, biểu diễn của $W_p$ trên $T_p$ là bất khả quy, nên tuyệt đối bất khả quy (§ 2, no. 1, Mệnh đề 1). Nó không tầm thường theo đúng định nghĩa của $T_p$. Cuối cùng, khẳng định cuối cùng trong (v) suy ra ngay lập tức từ (iii).

Nếu không gian con $T_0$ của các vectơ trong T bất biến dưới U(W) thu về $\{0\}$, thì W được gọi là cốt yếu; nếu biểu diễn U của W trên T là bất khả quy, thì W được gọi là bất khả quy.