(i) Mọi tự đồng cấu của V giao hoán với $\rho(G)$ đều là một phép vị tự, và $\rho$ là bất khả quy tuyệt đối.

(ii) Giả sử rằng V là hữu hạn chiều. Cho B là một dạng song tuyến tính khác không trên V, bất biến dưới $\rho(G)$. Khi đó B là không suy biến, hoặc đối xứng hoặc phản đối xứng, và mọi dạng song tuyến tính trên V bất biến dưới $\rho(G)$ đều tỷ lệ với B.

Cho u là một tự đồng cấu của V giao hoán với $\rho(G)$. Cho g là một phần tử của G sao cho $\rho(g)$ là một giả phản xạ và cho D là ảnh của $1 - \rho(g)$. Vì D có chiều 1 và $u(D) \subset D$, tồn tại $\alpha$ trong K sao cho $u - \alpha . 1$ triệt tiêu trên D; khi đó hạt nhân N của $u - \alpha . 1$ là một không gian con vectơ của V bất biến dưới $\rho(G)$ và khác không vì nó chứa D; vì $\rho$ là bất khả quy, $N = V$ và $u = \alpha . 1$. Phần thứ hai của (i) suy ra từ phần thứ nhất bởi Đại số, Chap. VIII, § 13, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 5.

Ký hiệu N (tương ứng $N'$) là không gian con của V gồm các x sao cho $B(x, y) = 0$ (tương ứng $B(y, x) = 0$) với mọi y trong V; vì B là bất biến đối với $\rho(G)$, các không gian con N và $N'$ của V là ổn định dưới $\rho(G)$ và khác V vì $B \neq 0$. Vì $\rho$ là bất khả quy, nên $N = N' = 0$ và B là không suy biến.

Vì V là hữu hạn chiều, mọi dạng song tuyến tính trên V đều được cho bởi công thức

đối với một tự đồng cấu u nào đó của V. Nếu $B'$ bất biến dưới $\rho(G)$, thì tự đồng cấu u giao hoán với $\rho(G)$. Thật vậy, cho $x, y$ thuộc V và cho g thuộc G; vì B và $B'$ đều bất biến dưới $\rho(G)$, ta có do đó $u(\rho(g)(x)) = \rho(g)(u(x))$ vì B không suy biến. Theo (i), tồn tại $\alpha$ trong K sao cho $u = \alpha.1$, nên $B' = \alpha.B$.

Đặc biệt, ta có thể áp dụng điều này cho dạng song tuyến tính $B'(x, y) = B(y, x)$; khi đó $B(y, x) = \alpha.B(x, y) = \alpha^2.B(y, x)$ với mọi $x, y$ trong V, và vì B khác không nên $\alpha^2 = 1$, do đó $\alpha = 1$ hoặc $\alpha = -1$. Vậy B hoặc là đối xứng hoặc là phản đối xứng.

(i) Nếu s là một phép đối xứng, V là tổng trực tiếp của siêu phẳng $V_s^+$ và đường thẳng $V_s^-$.

(ii) Ngược lại, giả sử rằng V là tổng trực tiếp của một siêu phẳng H và một đường thẳng D sao cho $s(x) = x$ và $s(y) = -y$ với $x \in H$ và $y \in D$. Khi đó s là một phép đối xứng và $H = V_s^+$, $D = V_s^-$. Cuối cùng, D là ảnh của $1 - s$.

(i) Nếu s là một phép phản xạ, thì $V_s^+$ là một siêu phẳng. Nếu x thuộc $V_s^+ \cap V_s^-$, thì $x = s(x) = -x$, do đó $x = 0$ vì K có đặc số $\neq 2$. Cuối cùng, với $x$ trong V, vectơ $x' = s(x) + x$ (tương ứng $x'' = s(x) - x$) thuộc $V_s^+$ (tương ứng $V_s^-$) vì $s^2 = 1$, và $2x = x' - x''$. Vậy V là tổng trực tiếp của $V_s^+$ và $V_s^-$, và $V_s^-$ tất yếu có chiều 1 vì $V_s^+$ là một siêu phẳng.

(ii) Dưới các giả thiết đã nêu, mọi phần tử của V đều có thể được viết duy nhất dưới dạng $v = x + y$ với $x \in H$ và $y \in D$, và ta có $s(v) = x - y$; mệnh đề (ii) suy ra ngay lập tức từ điều này.

Cho s là một phép phản xạ trong V. Mệnh đề 2, (i) cho thấy rằng tồn tại một cơ sở $(e_1, \ldots, e_n)$ của V sao cho $s(e_1) = e_1, \ldots, s(e_{n-1}) = e_{n-1}$ và $s(e_n) = -e_n$, do đó $\det(s) = -1$.

(i) Một không gian con V' của V ổn định dưới s khi và chỉ khi $V_s^- \subset V'$ hoặc $V' \subset V_s^+$.

(ii) Một tự đồng cấu u của V giao hoán với s khi và chỉ khi $V_s^+$ và $V_s^-$ ổn định dưới u.

(i) Nếu $V' \subset V_s^+$, thì $s(x) = x$ với mọi $x$ trong $V'$, nên $s(V') \subset V'$. Giả sử rằng $V_s^- \subset V'$; khi đó, với mọi $x$ trong $V'$, ta có $s(x) - x \in V_s^- \subset V'$, do đó $s(x) \in V'$; vì thế $s(V') \subset V'$. Ngược lại, giả sử rằng $s(V') \subset V'$; nếu $V' \not\subset V_s^+$, thì tồn tại $x$ trong $V'$ sao cho $s(x) \neq x$; vectơ khác không $a = s(x) - x$ thuộc đường thẳng $V_s^-$, và do đó sinh ra không gian này; vì $a \in V'$, ta có $V_s^- \subset V'$.

(ii) Trước hết giả sử rằng $u$ giao hoán với $s$. Nếu $x$ là một vectơ sao cho $s(x) = \varepsilon.x$ (trong đó $\varepsilon = \pm 1$), thì $s(u(x)) = u(s(x)) = \varepsilon.u(x)$, vậy $V_s^+$ và $V_s^-$ ổn định dưới $u$. Ngược lại, giả sử rằng $V_s^+$ và $V_s^-$ ổn định dưới $u$; hiển nhiên $us - su$ triệt tiêu trên $V_s^+$ và trên $V_s^-$, và vì V là tổng trực tiếp của $V_s^+$ và $V_s^-$, nên ta có $us - su = 0$.

Nếu $V_s^- \subset V_u^+$ và $V_u^- \subset V_s^+$, Mệnh đề 3, (i) cho thấy rằng $V_u^+$ và $V_u^-$ ổn định dưới $s$, do đó $su = us$ theo Mệnh đề 3, (ii).

Ngược lại, nếu $su = us$, không gian con $V_s^-$ ổn định dưới $u$ theo (ii); theo (i), có hai trường hợp có thể xảy ra:

a) Ta có $V_u^- \subset V_s^-$: vì cả hai đều có chiều bằng 1, nên các không gian này bằng nhau, do đó $V_s^- \not\subset V_u^+$; vì $V_u^+$ ổn định dưới $s$, ta có $V_u^+ \subset V_s^+$ và vì thế hai siêu phẳng này bằng nhau. Nhưng khi đó $s = u$, trái với các giả thiết của ta.

b) Ta có $V_s^- \subset V_u^+$: do đó ảnh của $1 - s$ được chứa trong hạt nhân của $1 - u$, nên $(1 - u).(1 - s) = 0$. Vì $s$ và $u$ giao hoán, ta có $(1 - s).(1 - u) = 0$, nói cách khác $V_u^- \subset V_s^+$.

(i) X ổn định dưới s. (ii) $X^0$ ổn định dưới s. (iii) H chứa X hoặc $X^0$.

Ta có $V_s^+ = H$, và theo những gì đã nói, $V_s^-$ là trực giao bù $H^0$ của H đối với B. Theo Mệnh đề 3, X ổn định dưới s khi và chỉ khi $X \subset H$ hoặc $H^0 \subset X$; nhưng quan hệ $H^0 \subset X$ tương đương với $X^0 \subset H$ theo Đại số, Chương IX, § 1, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4. Điều này chứng minh tính tương đương của (i) và (iii); tính tương đương của (ii) và (iii) suy ra bằng cách đổi chỗ vai trò của X và $X^0$, vì $(X^0)^0 = X$.

Sự tồn tại và tính duy nhất của $v$ là ngay lập tức. Tự đẳng cấu của $V$ liên kết với $s_{H'} s_H$ là đồng nhất; do đó $s_{H'} s_H$ là một phép tịnh tiến. Mặt khác, lấy $a \in H'$; khi đó $a - v \in H$ và

điều này cho thấy rằng $s_{H'} s_H$ là phép tịnh tiến theo vectơ $2v$.

Thật vậy, theo Mệnh đề 2 của Chương IV, § 1, no. 2, chỉ cần chỉ ra rằng $s_{H'} s_H$ có cấp vô hạn (tương ứng cấp $2p$), điều này là hiển nhiên.

Cho $u$ là một phép quay biến đổi $\Delta$ thành $\Delta'$. Vì $su$ là một phép biến đổi trực giao của V có định thức bằng $-1$, nên nó là một phép đối xứng và do đó $(su)^2 = 1$. Do đó, $u^{-1} = sus^{-1}$ biến đổi $s(\Delta)$ thành $s(\Delta')$, suy ra mệnh đề.

Ta biết rằng $s_{D'} s_D$ là một phép quay vì nó có định thức bằng 1. Gọi $\Delta$ và $\Delta'$ là hai nửa đường thẳng gốc tại gốc tọa độ được đỡ bởi D và D'. Ta có

do đó có hệ quả.

Bây giờ cho $\Delta$ và $\Delta'$ là hai nửa đường thẳng của V sao cho

và gọi s và $s'$ là các phép đối xứng trực giao đối với các đường thẳng D và D' chứa $\Delta$ và $\Delta'$. Gọi $\theta$ là số đo chính của góc $(\widehat{D}, \widehat{D'})$. Nếu $\theta \in \pi \mathbf{Q}$, ký hiệu bởi m số nguyên nhỏ nhất $\geq 1$ sao cho $m\theta \in \pi \mathbf{Z}$. Nếu $\theta \notin \pi \mathbf{Q}$, đặt $m = \infty$. Gọi W là nhóm sinh bởi s và $s'$.

Hệ quả của Mệnh đề 6 cho thấy rằng $s's$ có cấp m, điều này cho khẳng định đầu tiên. Như vậy các phần tử của W có dạng $(s's)^n = \rho_{2n\theta}$ hoặc $(s's)^n s = \rho_{2n\theta} s$; khẳng định cuối cùng suy ra từ đó, vì $D' = \rho_\theta(D)$.

Nếu $m = \infty$, ảnh của tập hợp $n \theta$ ($n \in \mathbf{Z}$) trù mật trong $\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$ (Tôpô đại cương, Chương VII, § 1, Mệnh đề 11); do đó hợp của các ảnh của D bởi các phần tử của W là trù mật trong V và cắt C. Nếu m là hữu hạn và nếu $\theta = k \pi / m$ với $1 < k < m$, trong đó các số nguyên k và m nguyên tố cùng nhau, thì tồn tại một số nguyên h sao cho $hk \equiv 1$ mod. m; khi đó $(D, \rho_{h \theta}(D)) \equiv \pi / m$ (mod. $\pi$), và $\rho_{h \theta}(D)$ cắt C. Điều đó chứng tỏ điều kiện là cần thiết. Đảo lại là ngay lập tức.