Exercice 12, § 1

Soient R un système de racines dans V de rang $\geq 3$, $(\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$ une base de R, $V'$ (resp. $V''$) le sous-espace de V engendré par les $\alpha_i$ pour $i \geq 2$ (resp. $i \geq 3$), $R' = R \cap V', R'' = R \cap V''$. Soit $d$ (resp. $d', d''$), le déterminant de la matrice de Cartan de R (resp. $R', R''$). On suppose que $\alpha_1$ est orthogonal à tous les $\alpha_i$ sauf $\alpha_2$, et que $\|\alpha_1\| = \|\alpha_2\|$. Montrer que $d = 2d' - d''$.