Exercice 17, § 1

Soient R un système de racines réduit et B une base de R. Pour toute partie J de B, soient $W_J$ le sous-groupe de $W(R)$ engendré par les réflexions $s_\alpha$ pour $\alpha \in J$ et $w_J$ l’élément de plus grande longueur de $W_J$. Soit $\Phi$ l’ensemble des $w_J$. a) Montrer que, pour qu’un élément $w \in W(R)$ appartienne à $\Phi$, il faut et il suffit que

(Pour montrer que la condition est suffisante, on désignera par $J_1$ l’ensemble des $\alpha \in B$ tels que $w(\alpha) \in -B$ et on posera $J = -w(J_1)$. Si $\alpha \in J_1$, on a $w(\alpha) \in -J$ et $w_J w(\alpha) \in B$; si $\alpha \in B - J_1$, on a $w_J w(\alpha) \in R_+$ : sinon $w(\alpha)$ serait positive et $w_J w(\alpha)$ négative, ce qui entraînerait que $w(\alpha)$ appartient au sous-système engendré par les $\beta \in J$ et que $\alpha$ appartient au sous-système engendré par les $\beta \in J_1$, ce qui est absurde. En déduire que $w_J w = 1$.) b) Montrer que, pour qu’un élément $w \in W(R)$ soit d’ordre 2, il faut et il suffit que w soit conjugué de l’un des $w_J$. (Pour montrer que la condition est nécessaire, on remarquera qu’un élément w d’ordre 2 de $W(R)$ est la symétrie par rapport au sous-espace engendré par une facette F. Quitte à remplacer w par un conjugué, on peut supposer que $F \subset \overline{C}$, où C est la chambre définie par B. La facette F est alors l’intersection des hyperplans $L_\alpha$ pour $\alpha$ appartenant à une partie J de B, et on a $w = w_J$.)