Bài tập 17, § 1

Cho $R$ là một hệ căn rút gọn và $B$ là một cơ sở của $R$. Với mọi tập con $J$ của $B$, gọi $W_J$ là nhóm con của $W(R)$ sinh bởi các phép phản xạ $s_\alpha$ với $\alpha \in J$, và gọi $w_J$ là phần tử dài nhất của $W_J$. Gọi $\Phi$ là tập hợp các $w_J$.

a) Chứng minh rằng một phần tử $w \in W(R)$ thuộc $\Phi$ nếu và chỉ nếu

(Để chứng minh rằng điều kiện là đủ, ký hiệu $J_1$ là tập hợp các $\alpha \in B$ sao cho $w(\alpha) \in -B$ và đặt $J = -w(J_1)$. Nếu $\alpha \in J_1$, thì $w(\alpha) \in -J$ và $w_J w(\alpha) \in B$;

nếu $\alpha \in B - J_1$, thì $w_J w(\alpha) \in R_+$: nếu không, $w(\alpha)$ sẽ dương và $w_J w(\alpha)$ âm, điều này sẽ suy ra rằng $w(\alpha)$ thuộc vào hệ con sinh bởi các $\beta \in J$ và rằng $\alpha$ thuộc vào hệ con sinh bởi các $\beta \in J_1$, điều này là vô lý. Suy ra rằng $w_J w = 1.$