Exercice 2, § 1

Soient R un système de racines, $\alpha$ et $\beta$ deux racines. Si t est un scalaire tel que $\beta + t\alpha \in R$, on a $2t \in \mathbf{Z}$. (Car $n(\beta + t\alpha, \alpha) = n(\beta, \alpha) + 2t$.) Si $\alpha$ est indivisible, on a $t \in \mathbf{Z}$. (Sinon, montrer, en utilisant la prop. 9, qu’il existe une racine $\gamma$ orthogonale à $\alpha$ telle que $\gamma + \frac{1}{2}\alpha \in R$; on a $(\gamma + \frac{1}{2}\alpha|\alpha) > 0$, d’où $\frac{1}{2}\alpha \in R$.)