Exercice 20, § 1

Soit $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\}$ une base d’un système de racines irréductible et réduit R. Soient r et p deux entiers, avec $p \geq 2$, tels que :

a) Soit $\alpha = c_1 \alpha_1 + \cdots + c_l \alpha_l$ une racine. Montrer que $(\alpha|\alpha) = (\alpha_1|\alpha_1)$ (autrement dit que $\alpha$ est une racine longue) si et seulement si $p$ divise $c_{r+1}, \ldots, c_l$. b) Soit h le nombre de Coxeter de $W(R)$. Montrer que le nombre des racines de R de plus grande (resp. de plus petite) longueur est égal à $hr$ (resp. à $h(l-r)$).