Bài tập 20, § 1

Cho $(\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$ là một cơ sở của một hệ nghiệm bất khả quy rút gọn $R$. Cho $r$ và $p$ là hai số nguyên, với $p \geq 2$, sao cho:

a) Cho $\alpha = c_1 \alpha_1 + \cdots + c_l \alpha_l$ là một nghiệm. Chứng tỏ rằng $(\alpha|\alpha) = (\alpha_1|\alpha_1)$ (nói cách khác, $\alpha$ là một nghiệm dài) khi và chỉ khi $p$ chia hết $c_{r+1} \ldots c_l$.

b) Cho $h$ là số Coxeter của $W(R)$. Chứng tỏ rằng số các nghiệm dài nhất (tương ứng, ngắn nhất) của $R$ bằng $hr$ (tương ứng, $h(l-r)$).