Exercice 24, § 1

On conserve les notations et les hypothèses de l’exercice précédent.

a) Soit $p \in P(R)$, et soit $W.p$ l’orbite de $p$ par $W$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $S(p) = W.p$.

(ii) $\langle p, \alpha^\vee \rangle = 0, 1$ ou $-1$ pour tout $\alpha \in R$. (Si (ii) n’est pas vérifiée, on construira un élément $q \in S(p)$ tel que $(q|q) < (p|p)$, d’où $q \notin W.p$.)

b) Soit $X$ une partie saturée non vide de $P(R)$. Montrer que $X$ contient un élément $p$ vérifiant les conditions (i) et (ii) ci-dessus. (Prendre pour $p$ un élément de $X$ de longueur minimum.)

c) On suppose $R$ irréductible. Soit $C$ une chambre de $R$, soit $B = \{\alpha_i\}_{i \in I}$ la base correspondante, et soit

la plus grande racine de $R^\vee$. Soit $J$ l’ensemble des $i \in I$ tels que $n_i = 1$. Soit $p$ un poids dominant $\neq 0$. Montrer que les conditions (i) et (ii) de a) équivalent à chacune des conditions suivantes :

(iii) $\langle p, \gamma^* \rangle = 1$.

(iv) Il existe $i \in J$ tel que $p$ soit égal au poids fondamental $\varpi_i$ correspondant.

Un poids $p$ vérifiant ces conditions est appelé minuscule. Montrer que toute partie saturée non vide de $P(R)$ contient, soit 0, soit un poids minuscule.