Bài tập 24, § 1

Ta giữ lại ký hiệu và các giả thiết của bài tập trước.

a) Cho $p \in P(R)$, và cho $W.p$ là quỹ đạo của $p$ dưới tác động của $W$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) $S(p) = W.p$.

(ii) $\langle p, \alpha^\vee \rangle = 0, 1$ hoặc $-1$ với mọi $\alpha \in R$.

(Nếu (ii) không được thỏa mãn, xây dựng một phần tử $q \in S(p)$ sao cho $(q|q) < (p|p)$, và do đó $q \notin W.p$.)

b) Cho $X$ là một tập con bão hòa không rỗng của $P(R)$. Chứng minh rằng $X$ chứa một phần tử $p$ thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) ở trên. (Lấy $p$ là một phần tử của $X$ có độ dài cực tiểu.)

c) Giả sử rằng $R$ là bất khả quy. Cho $C$ là một phòng của $R$, cho $B = \{\alpha_i\}_{i \in I}$ là cơ sở tương ứng, và cho

là nghiệm cao nhất của $R$. Cho $J$ là tập hợp các $i \in I$ sao cho $n_i = 1$. Cho $p \neq 0$ là một trọng số trội. Chứng minh rằng các điều kiện (i) và (ii) của a) tương đương với mỗi điều kiện sau:

² Bài tập này, trước đây chưa được công bố, đã được R. Steinberg gửi cho chúng tôi.

(iii) $\langle p, \gamma^* \rangle = 1$.

(iv) Tồn tại $i \in J$ sao cho $p$ bằng trọng số cơ bản tương ứng.

Một trọng số $p$ thỏa mãn các điều kiện này được gọi là minuscule. Chứng minh rằng mọi tập con bão hòa không rỗng của $P(R)$ chứa 0 hoặc một trọng lượng minuscule.