Exercice 9, § 1

Soient R un système de racines, C une chambre. Posons $B(C) = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_l\}$,

(les $\alpha_i$ étant deux à deux distincts), et $\alpha = \alpha_1 + \cdots + \alpha_s$.

a) Pour $i = 1, 2, \ldots, s$, soit $\varepsilon_i = \pm 1$. Soit $\alpha^* = \varepsilon_1 \alpha_1 + \cdots + \varepsilon_s \alpha_s$. Si $(\alpha^*|\alpha_i) > 0$ pour $i = 1, \ldots, l$, alors $\alpha^* = \alpha$ et $\varepsilon_i = 1$ pour tout $i$. (Soit $\gamma$ (resp. $\delta$) la somme des $\alpha_i$ pour lesquels $\varepsilon_i = 1$ (resp. $-1$). On a $(\gamma|\alpha_i) - (\delta|\alpha_i) > 0$, $(\gamma|\alpha_i) + (\delta|\alpha_i) = (\alpha_i|\alpha_i)$, d’où

comme $2(\gamma|\alpha_i)/(\alpha_i|\alpha_i) \in \mathbf{Z}$, on a $(\gamma|\alpha_i) \geq (\alpha_i|\alpha_i) = (\alpha|\alpha_i)$, d’où $\gamma - \alpha \in \overline{C}$, $\gamma \geq \alpha$, $\gamma = \alpha$ et $\delta = 0$.)

b) Pour $i = 1, 2, \ldots, s$, soit $\varepsilon_i = \pm 1$. Pour que l’ensemble des $\varepsilon_i \alpha_i$ soit l’ensemble des racines > 0 relativement à une chambre, il faut et il suffit que $\alpha^* = \sum_i \varepsilon_i \alpha_i$ appartienne à une chambre. (Pour la suffisance, soit $\mu_i = \pm 1$ tel que $(\alpha^*|\mu_i \alpha_i) > 0$. Il existe $w \in W(R)$ qui transforme l’ensemble des $\mu_i \alpha_i$ en l’ensemble des $\alpha_i$, donc $\alpha^*$ en $\alpha^{**} = \sum_i \varepsilon_i \mu_i \alpha_{\sigma(i)}$ où $\sigma \in S_s$. Appliquant a), montrer que $\alpha^{**} = \alpha$, d’où $\mu_i \varepsilon_i = 1$.)