Bài tập 9, § 1

Cho $R$ là một hệ nghiệm, $C$ là một buồng. Đặt $B(C) = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_l\}$,

(các $\alpha_i$ từng đôi một phân biệt), và $\alpha = \alpha_1 + \cdots + \alpha_s$.

a) Với $i = 1, 2, \ldots, s$, đặt $\varepsilon_i = \pm 1$. Cho $\alpha^* = \varepsilon_1 \alpha_1 + \cdots + \varepsilon_s \alpha_s$. Nếu $(\alpha^*|\alpha_i) > 0$ với $i = 1, \ldots, l$, thì $\alpha^* = \alpha$ và $\varepsilon_i = 1$ với mọi $i$. (Gọi $\gamma$ (tương ứng $\delta$) là tổng của các $\alpha_i$ mà $\varepsilon_i = 1$ (tương ứng $-1$). Khi đó, $(\gamma|\alpha_i) - (\delta|\alpha_i) > 0$, $(\gamma|\alpha_i) + (\delta|\alpha_i) = (\alpha_i|\alpha_i)$, do đó

vì $2(\gamma|\alpha_i)/(\alpha_i|\alpha_i) \in \mathbf{Z}$, $(\gamma|\alpha_i) \geq (\alpha_i|\alpha_i) = (\alpha|\alpha_i)$, do đó $\gamma - \alpha \in \overline{C}$, $\gamma \geq \alpha$, $\gamma = \alpha$ và $\delta = 0$.

b) Với $i = 1, 2, \ldots, s$, cho $\varepsilon_i = \pm 1$. Tập hợp các $\varepsilon_i \alpha_i$ là tập hợp các nghiệm $> 0$ đối với một buồng nếu và chỉ nếu $\alpha^* = \sum_i \varepsilon_i \alpha_i$ thuộc về một buồng. (Để chứng minh rằng điều kiện là đủ, hãy cho $\mu_i = \pm 1$ sao cho $(\alpha^*|\mu_i \alpha_i) > 0$. Có một phần tử $w \in W(R)$ biến tập hợp các $\mu_i \alpha_i$ thành tập hợp các $\alpha_i$, và do đó biến $\alpha^*$ thành $\alpha^{**} = \sum_i \varepsilon_i \mu_i \alpha_{\sigma(i)}$, trong đó $\sigma \in S_s$. Áp dụng a), hãy chỉ ra rằng $\alpha^{**} = \alpha$, do đó $\mu_i \varepsilon_i = 1$.)