Exercice 10, § 1

On suppose $k$ de caractéristique $p > 0$. On note $g$ une algèbre de Lie de base $\{e_1, e_2, e_3\}$, avec $[e_1, e_2] = e_3$, $[e_1, e_3] = [e_2, e_3] = 0$. a) Montrer que le centre de $Ug$ est $k[e_1^p, e_2^p, e_3]$. b) On suppose $k$ algébriquement clos. Montrer que, pour tout $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in k^3$, il existe une représentation irréductible $\rho$ de $g$ et une seule (à équivalence près) telle que $\rho(e_i)$ ait pour unique valeur propre $\lambda_i$ ($i = 1, 2, 3$); le degré de $\rho$ est $p$ si $\lambda_3 \neq 0$, c’est 1 si $\lambda_3 = 0$. (Appliquer les exerc. 8 et 9, ou raisonner directement.)