Bài tập 10, § 1

Giả sử rằng $k$ có đặc số $p >0$. Ký hiệu $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie có cơ sở $\{e_1, e_2, e_3\}$, với $[e_1, e_2] =e_3,[e_1, e_3] = [e_2, e_3] = 0$.

a) Chứng minh rằng tâm của $U\mathfrak{g}$ là $k[e^p_1, e^p_2, e_3]$.

b) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Chứng minh rằng, với mọi $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\in k^3$, tồn tại (sai khác một tương đương) một biểu diễn bất khả quy duy nhất $\rho$ của $\mathfrak{g}$

$^6$ Để biết thêm chi tiết, xem H. ZASSENHAUS, Über Liesche Ringe mit Primzahlcharakteristik, Hamb. Abh., Vol. XIII (1939), pp. 1-100, và Darstellungstheorie nilpotenter Lie-Ringe bei Charakteristik $p >0$, Crelle’s J., Vol. CLXXXII (1940), pp. 150-155. sao cho $\lambda_i$ là trị riêng duy nhất của $\rho (e_i) (i= 1,2,3)$; bậc của $\rho$ là $p$ nếu $\lambda_3\not= 0$, và là 1 nếu $\lambda_3= 0$. (Áp dụng Bài tập 8 và 9, hoặc lập luận trực tiếp.)