Exercice 3, § 1

On se place dans les hypothèses du n° 2. Supposons k infini et la condition (PC) vérifiée. Soit $k'$ une extension parfaite de k. Soit $\lambda : S \to k$ tel que $V^\lambda(S) \neq 0$. Posons

Soit $r' : S' \to \mathrm{End}(V')$ l'application linéaire déduite de r par extension des scalaires. Il existe une unique application $\lambda' : S' \to k'$ telle que $V^\lambda(S) \otimes_k k' = V^{\lambda'}(S')$. (Se ramener au cas où $V = V^\lambda(S)$). Soient P une fonction polynomiale sur S et q une puissance de l'exposant caractéristique de k divisant dim V, telles que $\lambda^q = P$. Soit $P'$ la fonction polynomiale sur $S'$ qui prolonge P. Il existe pour chaque $s' \in S'$ un $\lambda'(s') \in k'$ tel que $\lambda'(s')^q = P'(s')$. Montrer que le polynôme caractéristique de $r'(s')$ est $(X - \lambda'(s'))^{\dim V}$.