Bài tập 3, § 1

Ta đặt các giả thiết trong no. 2. Giả sử rằng $k$ là vô hạn và điều kiện (AC) được thỏa mãn. Cho $k'$ là một mở rộng hoàn hảo của $k$. Cho $\lambda : S\rightarrow k$ sao cho $V^{\lambda}(S)\not= 0$. Đặt

Cho $r': S'\rightarrow$ End(V$'$) là ánh xạ tuyến tính thu được từ $r$ bằng mở rộng các vô hướng. Tồn tại duy nhất một ánh xạ $\lambda ': S'\rightarrow k'$ sao cho $V^{\lambda}(S)\otimes_kk'=$ ${V'}^{\lambda'}(S')$. (Rút gọn về trường hợp $V = V^{\lambda}(S)$. Cho P là một hàm đa thức trên S và $q$ là một lũy thừa của số mũ đặc số của $k$ chia hết cho dim V, sao cho $\lambda^q= P$. Cho $P'$ là hàm đa thức trên $S'$ mở rộng P. Với mỗi $s'\in S'$, tồn tại một $\lambda '(s')\in k'$ sao cho $\lambda '(s')^q= P'(s')$. Chứng minh rằng đa thức đặc trưng của $r'(s')$ là $(X-\lambda '(s'))^{dim V}.$)