Exercice 6, § 1

Les notations sont celles de l’Exerc. 12 de I, § 3. En particulier $g$ est une algèbre de Lie, $M$ un $g$-module, et $H^p(g, M) = Z^p(g, M)/B^p(g, M)$ est l’espace de cohomologie de degré $p$ de $g$ à valeurs dans $M$. a) Montrer que $B^p(g, M)$ et $Z^p(g, M)$ sont stables par la représentation naturelle $\theta$ de $g$ dans l’espace des cochaînes $C^p(g, M)$. En déduire une représentation de $g$ dans $H^p(g, M)$. Montrer que cette représentation est triviale (utiliser la formule $\theta = di + id, loc.\ cit.$). b) Soit $\bar{k}$ une clôture algébrique de $k$. Soient $x \in g$ et $x_M$ l’endomorphisme correspondant de $M$. Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ (resp. $\mu_1, \ldots, \mu_m$) les valeurs propres (dans $\bar{k}$) de $\mathrm{ad}_g x$ (resp. de $x_M$), répétées suivant leurs multiplicités. Montrer que les valeurs propres de l’endomorphisme $\theta(x)$ de $C^p(g, M)$ sont les $\mu_j - (\lambda_{i_1} + \cdots + \lambda_{i_p})$, où $1 \leq j \leq m$ et

En déduire, grâce à a), que $H^p(g, M) = 0$ si aucun des $\mu_j - (\lambda_{i_1} + \cdots + \lambda_{i_p})$ n’est nul. c) On suppose que la représentation $g \to \mathrm{End}(M)$ est fidèle, et que $x$ satisfait à la condition: quels que soient $j_1, \ldots, j_p, k_1, \ldots, k_{p+1} \in \{1, m\}$. Montrer que l’on a alors $H^p(g, M) = 0$ (remarquer que les valeurs propres $\lambda_i$ de $\mathrm{ad}_g x$ sont de la forme $\mu_j - \mu_k$, et appliquer b)).