Bài tập 6, § 1

Các ký hiệu là các ký hiệu của Bài tập 12 của Chương I, §3. Đặc biệt, $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie, M là một $\mathfrak{g}$-môđun, và $H^p(\mathfrak{g},M) = Z^p(\mathfrak{g},M)/B^p(\mathfrak{g},M)$ là không gian đối đồng điều bậc $p$ của $\mathfrak{g}$ với các giá trị trong M.

a) Chứng minh rằng $B^p(\mathfrak{g},M)$ và $Z^p(\mathfrak{g},M)$ ổn định đối với biểu diễn tự nhiên $\theta$ của $\mathfrak{g}$ trên không gian các đồng chuỗi $C^p(\mathfrak{g},M)$. Suy ra rằng có một biểu diễn của $\mathfrak{g}$ trên $H^p(\mathfrak{g},M)$. Chứng minh rằng biểu diễn này là tầm thường (sử dụng công thức $\theta =di+id$, loc. cit.).

b) Cho $\overline{k}$ là một bao đóng đại số của $k$. Cho $x\in \mathfrak{g}$ và cho $x_M$ là tự đồng cấu tương ứng của M. Cho $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ (tương ứng $\mu_1, . . . , \mu_m$) là các giá trị riêng (trong $k$) của ad$_{\mathfrak{g}}x$ (tương ứng của $x_M$), được lặp lại theo bội số của chúng. Chứng minh rằng các giá trị riêng của tự đồng cấu $\theta (x)$ của $C^p(\mathfrak{g},M)$ là các $\mu_j-(\lambda_{i_1}+\cdots +\lambda_{i_p})$, trong đó $1\leq j\leq m$ và

Suy ra, sử dụng a), rằng $H^p(\mathfrak{g},M) = 0$ nếu không có giá trị nào trong các $\mu_j-(\lambda_{i_1}+\cdots +\lambda_{i_p})$ là không.

c) Giả sử rằng biểu diễn $\mathfrak{g}\rightarrow$ End(M) là trung thành, và rằng $x$ thỏa mãn điều kiện:

với mọi $j_1, . . . , j_p, k_1, . . . , k_{p+1}\in 1, m$.

Chứng minh rằng khi đó ta có $H^p(\mathfrak{g},M) = 0$ (nhận xét rằng các giá trị riêng $\lambda_i$ của ad$_{\mathfrak{g}}x$ có dạng $\mu_j-\mu_k$, và áp dụng b)$)$.

$^3$ Chứng minh này được G. SELIGMAN truyền đạt cho chúng tôi.