Exercice 9, § 1

On conserve les notations de l’exercice précédent, et l’on suppose en outre que $g$ est nilpotente. a) Montrer que l’on peut choisir la base $\{e_1, \ldots, e_n\}$ de telle sorte que, pour tout couple $(i, j)$, $[e_i, e_j]$ soit combinaison linéaire des $e_h$ où $h > \sup(i, j)$. Dans toute la suite, on suppose que les $e_i$ vérifient cette condition. Pour $i = 1, \ldots, n$ on choisit une puissance $q(i)$ de $p$ telle que $\operatorname{ad}(e_i)^{q(i)} = 0$, et l’on pose $z_i = e_i^{q(i)}$, $A = k[z_1, \ldots, z_n]$, cf. exerc. 8. b) Soit $\rho : g \to gl(V)$ une représentation linéaire de $g$. On suppose que $\rho(e_i)$ est nilpotent pour $i = 1, \ldots, n$. Montrer que $\rho(x)$ est nilpotent pour tout $x \in g$. [Raisonner par récurrence sur $n = \dim g$ et se ramener au cas où $\rho$ est irréductible. Montrer que, dans ce cas, on a $\rho(e_n) = 0$ et appliquer l’hypothèse de récurrence.] c) Soient $\rho_1 : g \to gl(V_1)$ et $\rho_2 : g \to gl(V_2)$ deux représentations linéaires de $g$. On suppose que $V_1$ et $V_2$ sont $\neq 0$, et que $V_1 = V^{\lambda_1}(g)$, $V_2 = V^{\lambda_2}(g)$, où $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont deux fonctions sur $g$, cf. n° 3. Montrer que, si $\lambda_1(e_i) = \lambda_2(e_i)$ pour $i = 1, \ldots, n$, on a $\lambda_1 = \lambda_2$ et il existe un $g$-homomorphisme non nul de $V_1$ dans $V_2$ (appliquer $b$) au $g$-module $V = \mathscr{L}(V_1, V_2)$ et utiliser le théorème d’Engel pour montrer que $V$ contient un élément $g$-invariant $\neq 0$. En déduire que, si en outre $V_1$ et $V_2$ sont simples, ils sont isomorphes. d) On suppose $k$ algébriquement clos. Soit $R$ l’ensemble des classes de représentations irréductibles de $g$. Si $\rho \in R$, posons

où $x_\rho(i)$ est l’unique valeur propre de $\rho(e_i)$. Montrer que $\rho \mapsto x_\rho$ est une bijection de $R$ sur $k^n$. (L’injectivité résulte de c), et la surjectivité de l’exerc. 8 d.).) En déduire les conséquences suivantes: (i) Pour tout idéal maximal $m$ de $A$, le quotient de $U/mU$ par son radical est une algèbre de matrices. (ii) Le degré de toute représentation irréductible de $g$ est une puissance de $p$ (cela résulte de (i) et du fait que $[U/mU : k]$ est une puissance de $p$). (iii) Tout homomorphisme de $A$ dans $k$ se prolonge de manière unique en un homomorphisme de $C$ dans $k$ (utiliser le fait que $C/mC$ est contenu dans le centre de $U/mU$, qui est une $k$-algèbre locale de corps résiduel $k$). (iv) Il existe un entier $N \geq 0$ tel que $x^{p^N} \in A$ pour tout $x \in C$ (résulte de (iii)).\footnote{Pour plus de détails, cf. H. Zassenhaus, Über Liesche Ringe mit Primzahlcharakteristik, Hamb. Abh., t. XIII (1939), p. 1–100, et Darstellungstheorie nilpotenter Lie-Ringe bei Charakteristik $p > 0$, J. de Crelle, t. CLXXXII (1940), p. 150–155.}