Bài tập 9, § 1

Ta giữ các ký hiệu của bài tập trước, và giả sử thêm rằng $\mathfrak{g}$ là lũy linh.

a) Hãy chỉ ra rằng có thể chọn cơ sở $(e_1, . . . , e_n)$ sao cho, với mọi cặp $(i, j)$, $[e_i, e_j]$ là một tổ hợp tuyến tính của các $e_h$ với $h >$ sup($i, j$). Từ nay giả sử rằng các $e_i$ thỏa mãn điều kiện này. Với $i= 1, . . . , n$ hãy chọn một lũy thừa $q(i)$ của $p$ sao cho ad($e_i$)$^{q(i)}= 0$, và đặt $z_i=e_i^{q(i)},A =k[z_1, . . . , z_n]$, xem Bài tập 8.

b) Cho $\rho :\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ là một biểu diễn tuyến tính của $\mathfrak{g}$. Giả sử rằng $\rho (e_i)$ là lũy linh với $i= 1, . . . , n$. Hãy chỉ ra rằng $\rho (x)$ là lũy linh với mọi $x\in \mathfrak{g}$. (Lập luận bằng quy nạp theo $n=$ dim $\mathfrak{g}$ và rút gọn về trường hợp $\rho$ là bất khả quy. Hãy chỉ ra rằng, trong trường hợp này, $\rho (e_n) = 0$ và áp dụng giả thiết quy nạp.)

c) Cho $\rho_1:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V_1)$ và $\rho_2:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V_2)$ là hai biểu diễn tuyến tính của $\mathfrak{g}$. Giả sử rằng $V_1$ và $V_2$ là $\not= 0$, và rằng $V_1= V^{\lambda_1}(\mathfrak{g}),V_2= V^{\lambda_2}(\mathfrak{g})$, trong đó $\lambda_1$ và $\lambda_2$ là hai hàm trên $\mathfrak{g}$, xem no. 3. Hãy chỉ ra rằng, nếu $\lambda_1(e_i) =\lambda_2(e_i)$ với $i= 1, . . . , n$, thì $\lambda_1=\lambda_2$ và tồn tại một $\mathfrak{g}$-đồng cấu khác không từ $V_1$ đến $V_2$ (hãy áp dụng $b$) cho $\mathfrak{g}$-môđun $V =\mathscr{L}(V_1,V_2)$ và dùng định lý Engel để chỉ ra rằng V chứa một phần tử $\mathfrak{g}$-bất biến khác không). Suy ra rằng nếu, thêm nữa, $V_1$ và $V_2$ là đơn, thì chúng đẳng cấu.

d) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Gọi R là tập hợp các lớp tương đương của các biểu diễn bất khả quy của $\mathfrak{g}$. Nếu $\rho \in R$, đặt

trong đó $x_{\rho}(i)$ là trị riêng duy nhất của $\rho (e_i)$. Hãy chỉ ra rằng $\rho \rightarrow x_{\rho}$ là một song ánh từ R lên $k^n$. (Tính đơn ánh suy ra từ $c$), và tính toàn ánh suy ra từ Bài tập $8d).)$ Suy ra các hệ quả sau:

(i) Với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A, thương của $U/\mathfrak{m}U$ bởi căn của nó là một đại số ma trận.

(ii) Bậc của mọi biểu diễn bất khả quy của $\mathfrak{g}$ là một lũy thừa của $p$ (điều này suy ra từ (i) và sự kiện rằng $[U/\mathfrak{m}U :k]$ là một lũy thừa của $p$).

(iii) Mọi đồng cấu từ A vào $k$ đều mở rộng duy nhất thành một đồng cấu từ C vào $k$ (dùng sự kiện rằng $C/\mathfrak{m}C$ được chứa trong tâm của $U/\mathfrak{m}U$, là một đại số $k$ địa phương có trường thặng dư $k$).

(iv) Tồn tại một số nguyên $N\geq 0$ sao cho $x^{p^N}\in A$ với mọi $x\in C$ (điều này suy ra từ (iii)).$^6$