Exercice 13, § 2

On suppose $k$ fini. On note $k'$ une extension infinie de $k$. Soit $g$ une algèbre de Lie sur $k$. On appelle rang de $g$, et on note $\mathrm{rg}(g)$, le rang de la $k'$-algèbre de Lie $g' = g \otimes_k k'$; un élément de $g$ est dit régulier s’il est régulier dans $g'$; ces définitions ne dépendent pas du choix de $k'$. Montrer que, si l’on a

$g$ contient un élément régulier (donc aussi une sous-algèbre de Cartan). (On utilisera le résultat suivant: si $a$ est un élément homogène non nul de $k[X_1, \ldots, X_n]$, et si $\mathrm{Card}(k) \geqslant \deg(a)$, il existe $x \in k^n$ tel que $a(x) \neq 0$.)