Bài tập 13, § 2

Giả sử rằng $k$ là hữu hạn. Ký hiệu $k'$ là một mở rộng vô hạn của $k$. Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie trên $k$. Hạng của $\mathfrak{g}$, ký hiệu là rk($\mathfrak{g}$), là hạng của $k'$-đại số Lie $\mathfrak{g}'=\mathfrak{g}\otimes_kk'$; một phần tử của $\mathfrak{g}$ được gọi là chính quy nếu nó là chính quy trong $\mathfrak{g}'$; các định nghĩa này không phụ thuộc vào lựa chọn $k'$. Chứng minh rằng, nếu

Card($k$)$\geq$ dim$\mathfrak{g}-$ rk($\mathfrak{g}$),

$\mathfrak{g}$ chứa một phần tử chính quy (do đó cũng chứa một đại số con Cartan).

(Sử dụng kết quả sau đây: nếu $a$ là một phần tử thuần nhất khác không của $k[X_1, . . . ,X_n]$, và nếu Card($k$)$\geq$ deg($a$), thì tồn tại $x\in k^n$ sao cho $a(x)\not= 0.$)