Exercice 14, § 2

On suppose $k$ de caractéristique zéro. Soient $V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie, $g$ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{gl}(V)$, $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$ et $n_V$ le plus grand idéal de nilpotence du $g$-module $V$ (I, § 4, no 3, déf. 2). Montrer qu’un élément de $h$ est nilpotent si et seulement s’il appartient à $n_V$. (Se ramener au cas où le $g$-module $V$ est semi-simple, et utiliser le cor. 3 du th. 2.)