Exercice 16, § 2

Soient $g$ une algèbre de Lie résoluble complexe, $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$, $g = \bigoplus g^\lambda(h)$ la décomposition correspondante de $g$ en sous-espaces primaires, avec $g^0(h) = h$. a) Montrer que les restrictions à $h$ des formes linéaires appelées racines de $g$ dans III, § 9, exerc. 17 c) sont les poids de $h$ dans $g$, i.e. les $\lambda$ tels que $g^\lambda(h) \neq 0$; en déduire qu’un tel $\lambda$ est nul sur $h \cap \mathscr{D}g$. b) Soit $(x, y) \mapsto [x, y]'$ l’application bilinéaire alternée de $g \times g$ dans $g$ possédant les propriétés suivantes: (i) Si $x \in g^\lambda(h)$, $y \in g^\mu(h)$, avec $\lambda \neq 0$, $\mu \neq 0$, on a $[x, y]' = [x, y]$; (ii) si $x \in g^0(h)$, $y \in g^\mu(h)$, on a $[x, y]' = [x, y] - \mu(x)y$. Montrer que $g$ est ainsi muni d’une nouvelle structure d’algèbre de Lie (utiliser a)). On la note $g'$. c) Montrer que, si $x \in g^\lambda(h)$, l’application $\mathrm{ad}' x : y \mapsto [x, y]'$ est nilpotente. En déduire que $g'$ est nilpotente (appliquer l’exerc. 11 de I, § 4 à l’ensemble $E$ des $\mathrm{ad}' x$, où $x$ parcourt la réunion des $g^\lambda(h)$).