Bài tập 16, § 2

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie phức giải được, $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}=\bigoplus\mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})$ là phân tích tương ứng của $\mathfrak{g}$ thành các không gian con nguyên sơ, với $\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}) =\mathfrak{h}$.

a) Chứng minh rằng các hạn chế lên $\mathfrak{h}$ của các dạng tuyến tính được gọi là căn của $\mathfrak{g}$ trong Chương III, §9, Bài tập $17c)$ là các trọng số của $\mathfrak{h}$ trong $\mathfrak{g}$, tức là các $\lambda$ sao cho $\mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})\not= 0$; suy ra rằng một $\lambda$ như vậy triệt tiêu trên $\mathfrak{h}\cap \mathscr{D}\mathfrak{g}$.

b) Cho $(x, y) \rightarrow [x, y]'$ là ánh xạ song tuyến tính phản xứng từ $\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}$ vào $\mathfrak{g}$ với các tính chất sau:

(i) Nếu $x\in \mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h}), y\in \mathfrak{g}^\mu(\mathfrak{h})$, với $\lambda \not= 0, \mu\not= 0$, thì $[x, y]'= [x, y]$;

(ii) nếu $x\in \mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}), y\in \mathfrak{g}^\mu(\mathfrak{h})$, thì $[x, y]'= [x, y]-\mu(x)y$.

Chứng minh rằng điều này cho một cấu trúc đại số Lie mới trên $\mathfrak{g}$ (dùng $a$)$)$. Ký hiệu nó là $\mathfrak{g}'$.

c) Chứng minh rằng, nếu $x\in \mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})$, ánh xạ ad$'x:y \rightarrow [x, y]'$ là lũy linh. Suy ra rằng $\mathfrak{g}'$ là lũy linh (áp dụng Bài tập 11 của Chương I, §4 cho tập hợp E gồm các ad$'x$, trong đó $x$ thuộc hợp của các $\mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})$).