Exercice 8, § 2

On suppose $k$ de caractéristique $p > 0$. On note $s$ une algèbre de Lie de base $\{x, y\}$ avec $[x, y] = y$. Soit $V$ un $k$-espace vectoriel de base $\{e_i\}_{i \in \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}$. a) Montrer qu’il existe sur $V$ une structure de $s$-module et une seule telle que $xe_i = ie_i$ et $ye_i = e_{i+1}$ pour tout $i$. Ce $s$-module est simple. b) Soit $g = s \times V$ le produit semi-direct de $s$ par $V$. Montrer que $g$ est une algèbre résoluble de rang 1 dont l’algèbre dérivée n’est pas nilpotente. c) Pour qu’un élément de $g$ soit régulier, il faut et il suffit que sa projection dans $s$ soit de la forme $ax + by$, avec $ab \neq 0$. d) On a $V^0(x + y) = 0$ et $V^0(x) = ke_0$. En déduire (cf. exerc. 6) que $g$ possède des sous-algèbres de Cartan de dimension 1 (par exemple celle engendrée par $x + y$) et des sous-algèbres de Cartan de dimension 2 (par exemple celle engendrée par $x$ et $e_0$).