Bài tập 8, § 2

Giả sử rằng $k$ có đặc số $p >0$. Ký hiệu $\mathfrak{s}$ là một đại số Lie có cơ sở $\{x, y\}$ sao cho $[x, y] =y$. Cho V là một không gian $k$-vectơ có cơ sở $\{e_i\}_{i\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}$. a) Chứng minh rằng V có một cấu trúc $\mathfrak{s}$-môđun duy nhất sao cho $xe_i=ie_i$ và $ye_i=e_{i+1}$ với mọi $i$. $\mathfrak{s}$-môđun này là đơn.

b) Cho $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\times V$ là tích bán trực tiếp của $\mathfrak{s}$ bởi V. Chứng minh rằng $\mathfrak{g}$ là một đại số giải được có hạng 1 mà đại số dẫn xuất của nó không lũy linh.

c) Một phần tử của $\mathfrak{g}$ là chính quy khi và chỉ khi phép chiếu của nó trên $\mathfrak{s}$ có dạng $ax+by$, với $ab\not= 0$.

d) Ta có $V^0(x+y) = 0$ và $V^0(x) =ke_0$. Suy ra (xem Bài tập 6) rằng $\mathfrak{g}$ có các đại số con Cartan có chiều 1 (chẳng hạn đại số được sinh bởi $x+y$) và các đại số con Cartan có chiều 2 (chẳng hạn đại số được sinh bởi $x$ và $e_0$).