Exercice 21, § 1

Soit X un espace topologique paracompact, soit $\mathscr{A}$ un ensemble de parties fermées de X tel que $B\cap C\in \mathscr{A}$ pour tout couple $(B,C)$ d’éléments de $\mathscr{A}$. Soit $A =\bigcup_{C\in\mathscr{A}}C$; on suppose que, pour tout point $x$ de X, il existe un voisinage V de $x$ et une partie finie $\mathscr{A}_x$ de $\mathscr{A}$ tels que $V\cap A = V\cap \bigcup_{C\in\mathscr{A}_x}C$. a) Démontrer que A est une partie fermée de X.

b) On suppose que, pour tout $B\in \mathscr{A}$, le couple $(X,B)$ jouit de la propriété d’extension des homotopies. Démontrer qu’il en est de même du couple $(X,A)$.