Exercice 1, § 1

Soit S le graphe de l’application de $]0,1[$ dans $\mathbf{R}$ donnée par $t\mapsto$ sin($\pi /t$). Soit W la réunion de S et de l’image d’un chemin dans $\mathbf{R}^2-$ S reliant les points $(0,0)$ et $(1,0)$ (« cercle de Varsovie »).

a) Démontrer que l’espace W est simplement connexe par arcs mais qu’il n’est pas simplement connexe.

b) Pour tout entier $n\geqslant 0$, on pose $X_n=\mathbf{R}/2^n\mathbf{Z}$ et on note $f_n: X_{n+1}\rightarrow X_n$ la surjection canonique ; soit X l’espace lim$\leftarrow -_nX_n$. Démontrer que l’espace X est simplement connexe par arcs mais qu’il n’est pas simplement connexe.