Bài tập 1, § 1

Gọi S là đồ thị của ánh xạ từ $]0,1[$ vào $\mathbf{R}$ xác định bởi $t\mapsto$ sin($\pi /t$). Gọi W là hợp của S và ảnh của một đường đi trong $\mathbf{R}^2-$ S nối các điểm $(0,0)$ và $(1,0)$ (“Warsaw circle”).

(a) Chứng minh rằng không gian W là liên thông đơn theo cung nhưng không đơn liên.

(b) Với mọi số nguyên $n\geqslant 0$, đặt $X_n=\mathbf{R}/2^n\mathbf{Z}$ và ký hiệu bởi $f_n: X_{n+1}\rightarrow X_n$ toàn cấu chính tắc; gọi X là không gian $\varprojlim_n X_n$. Chứng minh rằng không gian X là liên thông đơn theo cung nhưng không đơn liên.