Exercice 4, § 1

Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $X_n$ la réunion des trois segments du plan numérique $\mathbf{R}^2$ dont les extrémités sont $(0,1)$, $(1/2n,0)$ et $(1/(2n-1),0)$. Soit $X_0$ le segment d’extrémités $(0,1)$ et $(0,0)$. Soit X la réunion des ensembles $X_n$, pour $n\geqslant 1$, et soit Y = X. Soit $a= (0,1)$.

a) Démontrer que $Y = X\cup X_0$.

b) Démontrer que X est localement contractile.

c) Démontrer que l’injection canonique de X dans Y induit un isomorphisme de groupes de $\pi_1(X, a)$ sur $\pi_1(Y, a)$.

d) Démontrer que la topologie quotient de la convergence compacte sur $\pi_1(Y, a)$ n’est pas discrète.