Bài tập 4, § 1

Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, cho $X_n$ là hợp của ba đoạn của mặt phẳng số $\mathbf{R}^2$ có các đầu mút là $(0,1)$, $(1/2n,0)$ và $(1/(2n-1),0)$. Cho $X_0$ là đoạn có các đầu mút là $(0,1)$ và $(0,0)$. Cho X là hợp của các tập hợp $X_n$, với $n\geqslant 1$, và cho Y = X. Cho $a= (0,1)$.

(a) Bài tập chứng minh rằng $Y = X\cup X_0$.

(b) Bài tập chứng minh rằng X là co rút được địa phương.

(c) Bài tập chứng minh rằng đơn ánh chính tắc của X vào Y cảm sinh một đẳng cấu nhóm của $\pi_1(X, a)$ lên $\pi_1(Y, a)$.

(d) Bài tập chứng minh rằng tôpô thương của hội tụ compact trên $\pi_1(Y, a)$ không phải là rời rạc.