Exercice 5, § 1

Soit X le sous-espace de $\mathbf{R}^2$ réunion de $[0,1]\times \{0,1\}$, de $\{0\} \times [0,1]$ et des segments $\{\frac{1}{n}\} \times [0,1]$, pour $n\geqslant 1$.

a) Démontrer que tout point $a$ de X admet un voisinage V tel que l’image de $\pi_1(V, a)$ dans $\pi_1(X, a)$ soit triviale.

b) Démontrer que la topologie quotient de la topologie de la convergence compacte sur le groupe $\pi_1(X, a)$ n’est pas discrète.