Bài tập 5, § 1

Cho $X$ là không gian con của $\mathbf{R}^2$ gồm hợp của $[0,1]\times \{0,1\}$, của $\{0\} \times [0,1]$ và của các đoạn $\{\frac{1}{n}\} \times [0,1]$, với $n\geqslant 1$.

(a) Chứng minh rằng mọi điểm $a$ của X đều có một lân cận V sao cho ảnh của $\pi_1(V, a)$ trong $\pi_1(X, a)$ là tầm thường.

(b) Chứng minh rằng tôpô thương của tôpô hội tụ compact trên nhóm $\pi_1(X, a)$ không phải là rời rạc.