Exercice 6, § 1

Soit X l’espace $\mathbf{R}^2-\mathbf{Q}^2$.

a) Démontrer que l’espace X est connexe par arcs. b) Soient $a, b$ des points de $\mathbf{R}-\mathbf{Q}$. Soit $c_{a,b}:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^2$ l’unique application qui vérifie $c(0) = (a, a),c(1/4) = (a, b),c(1/2) = (b, b),c(3/4) = (b, a)$ et $c(1) = (a, a)$ et dont les restrictions aux intervalles $[(m-1)/4, m/4]$ sont affines, pour $1\leqslant m\leqslant 4$. Démontrer que $c_{a,b}$ est un lacet dans X.

c) Soient $a, b, b'$ des éléments de $\mathbf{R}-\mathbf{Q}$ tels que $b=\not b'$. Démontrer que les lacets $c_{a,b}$ et $c_{a,b'}$ ne sont pas strictement homotopes.

d) En déduire que, pour tout $a\in \mathbf{R}-\mathbf{Q}$, le groupe $\pi_1(X,(a, a))$ a la puissance du continu.