Bài tập 6, § 1

Cho X là không gian $\mathbf{R}^2-\mathbf{Q}^2$.

a) Bài tập chứng minh rằng không gian X liên thông theo cung. b) Cho $a, b$ là các điểm của $\mathbf{R}-\mathbf{Q}$. Cho $c_{a,b}:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^2$ là ánh xạ duy nhất thỏa mãn $c(0) = (a, a),c(1/4) = (a, b),c(1/2) = (b, b),c(3/4) = (b, a)$ và $c(1) = (a, a)$ và có các hạn chế trên những khoảng $[(m-1)/4, m/4]$ là afin, với $1\leqslant m\leqslant 4$. Bài tập chứng minh rằng $c_{a,b}$ là một đường vòng trong X.

c) Cho $a, b, b'$ là các phần tử của $\mathbf{R}-\mathbf{Q}$ sao cho $b=\not b'$. Bài tập chứng minh rằng các đường vòng $c_{a,b}$ và $c_{a,b'}$ không đồng luân chặt.

d) Suy ra rằng, với mọi $a\in \mathbf{R}-\mathbf{Q}$, nhóm $\pi_1(X,(a, a))$ có lũy thừa của liên tục.