Exercice 2, § 1

a) Soit X un ensemble ordonné. Montrer que l’ensemble des intervalles $(x, \rightarrow[ (resp. ]\leftarrow, x])$ est une base d’une topologie sur X, dite topologie droite (resp. gauche). Pour la topologie droite, toute intersection d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert; l’adhérence de $\{x\}$ est l’intervalle $]\leftarrow, x]$.

b) On dit qu’un espace topologique X est un espace de Kolmogoroff s’il vérifie la condition suivante: pour deux points distincts $x, x'$ de X, il y a un voisinage de l’un de ces points qui ne contient pas l’autre. Montrer qu’un ensemble ordonné muni de la topologie droite est un espace de Kolmogoroff.

c) Soit X un espace de Kolmogoroff dans lequel toute intersection d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. Montrer que $x \in \overline{\{x'\}}$ est une relation d’ordre entre x et $x'$ dans X et que, si on l’écrit $x \leqslant x'$, la topologie donnée sur X est identique à la topologie droite déterminée par cette relation.

d) Déduire de c) que si X est un espace de Kolmogoroff, toute partie finie non vide de X possède au moins un point isolé. Si X n’a pas de point isolé, toute partie ouverte de X est infinie.