Bài tập 2, § 1

a) Cho $X$ là một tập hợp có thứ tự. Chứng minh rằng tập hợp các khoảng

là một cơ sở của một tôpô trên $X$; tôpô này được gọi là tôpô phải (resp. trái) của $X$. Trong tôpô phải, mọi giao của các tập hợp mở đều là một tập hợp mở, và bao đóng của $\{x\}$ là khoảng $] \leftarrow, x]$.

b) Một không gian tôpô được gọi là không gian Kolmogoroff nếu nó thỏa mãn điều kiện sau: với hai điểm phân biệt bất kỳ $x, x'$ của $X$, tồn tại một lân cận của một trong hai điểm này không chứa điểm kia. Chứng minh rằng một tập hợp có thứ tự với tôpô phải là một không gian Kolmogoroff.

c) Cho $X$ là một không gian Kolmogoroff trong đó mọi giao của các tập hợp mở đều là một tập hợp mở. Chứng minh rằng $x \in \{x'\}$ là một quan hệ thứ tự giữa $x$ và $x'$ trong $X$, và nếu quan hệ này được viết là $x \leqslant x'$ thì tôpô đã cho trên $X$ trùng với tôpô phải được xác định bởi thứ tự này.

d) Suy ra từ c) rằng nếu $X$ là một không gian Kolmogoroff thì mọi tập con hữu hạn khác rỗng của $X$ đều có ít nhất một điểm cô lập. Do đó, nếu $X$ không có điểm cô lập, mọi tập con mở khác rỗng của $X$ đều là vô hạn.