Exercice 11, § 2

On dit qu’un espace topologique $X$ est résoluble s’il existe dans $X$ deux parties complémentaires qui sont toutes deux partout denses.

a) Si un espace topologique $X$ est résoluble, $X$ est sans point isolé et tout sous-espace ouvert de $X$ est résoluble. Réciproquement, si $\mathfrak{B}$ est un ensemble de parties ouvertes non vides de $X$ tel que tout sous-espace ouvert $U \in \mathfrak{B}$ soit résoluble et que toute partie ouverte non vide de $X$ contienne un ensemble de $\mathfrak{B}$, alors $X$ est résoluble (considérer une famille $maximale$ de parties ouvertes appartenant à $\mathfrak{B}$, deux à deux disjointes).

b) Si un espace de Kolmogoroff $X$ est résoluble, toute partie ouverte non vide de $X$ est infinie (utiliser l’exerc 2 d) de I, p. 89).

c) Soit $X$ un espace topologique tel que: $1^\circ$ le plus petit cardinal $\mathfrak{d}$ des parties ouvertes non vides de $X$ soit infini; $2^\circ$ il existe une base $\mathfrak{B}$ de la topologie de $X$ telle que $\mathrm{Card}(\mathfrak{B}) \leqslant \mathfrak{d}$. Montrer que $X$ est résoluble. (Construire par récurrence transfinie deux parties partout denses de $X$, sans point commun, en utilisant la méthode de E, III, p. 91, exerc. 24 a).) En particulier la droite rationnelle est résoluble.

d) On dit qu’un espace topologique $X$ sans point isolé est isodyne si pour toute partie ouverte non vide $U$ de $X$, on a $\mathrm{Card}(U) = \mathrm{Card}(X)$. Dans un espace $X$ sans point isolé, tout ensemble ouvert non vide dans $X$ contient un sous-espace ouvert isodyne non vide. En déduire que si tout sous-espace ouvert isodyne de $X$ est résoluble, $X$ est résoluble.