Bài tập 11, § 2

Người ta nói rằng một không gian tôpô $X$ là giải được nếu tồn tại trong $X$ hai tập con bù nhau mà cả hai đều trù mật khắp nơi.

a) Nếu một không gian tôpô $X$ là giải được, $X$ không có điểm cô lập và mọi không gian con mở của $X$ đều giải được. Ngược lại, nếu $\mathfrak{B}$ là một tập hợp các tập con mở khác rỗng của $X$ sao cho mọi không gian con mở $U \in \mathfrak{B}$ đều giải được và mọi tập con mở khác rỗng của $X$ đều chứa một phần tử của $\mathfrak{B}$, thì $X$ là giải được (xét một họ tối đại các tập con mở thuộc $\mathfrak{B}$, rời nhau từng đôi một).

b) Nếu một không gian Kolmogoroff $X$ là giải được, mọi tập con mở khác rỗng của $X$ là vô hạn (dùng bài tập 2 d) của I, p. 89).

c) Cho $X$ là một không gian tôpô sao cho: $1^\circ$ lực lượng nhỏ nhất $\mathfrak{d}$ của các tập con mở khác rỗng của $X$ là vô hạn; $2^\circ$ tồn tại một cơ sở $\mathfrak{B}$ của tôpô của $X$ sao cho $\mathrm{Card}(\mathfrak{B}) \leqslant \mathfrak{d}$. Bây giờ chứng minh rằng $X$ là giải được. (Xây dựng bằng quy nạp siêu hạn hai tập con trù mật khắp nơi của $X$, không có điểm chung, dùng phương pháp của E, III, p. 91, bài tập. 24 a).) Đặc biệt đường thẳng hữu tỉ phải là giải được.

d) Một không gian tôpô $X$ không có điểm cô lập được gọi là đẳng lực nếu với mọi tập con mở khác rỗng $U$ của $X$, ta có $\mathrm{Card}(U) = \mathrm{Card}(X)$. Trong một không gian $X$ không có điểm cô lập, mọi tập mở khác rỗng trong $X$ đều chứa một không gian con mở đẳng lực khác rỗng. Suy ra rằng nếu mọi không gian con mở đẳng lực của $X$ đều giải được, thì $X$ là giải được.